LIVRE VIII

Nous avons déjà donné une première solution de ce problème (1103). En voici deux autres.

Supposons les deux divisions tracées sur deux droites différentes L et L' et soient {a, a'), (b, b'), [c,c') trois couples de points homologues.

i° Prenons l’intersection (3 de ab' et de a! b, l’intersection 7 de ac et de rt'c, et tirons la droite P7 que nous désignerons par),; m étant un point quelconque de la division L, menons a' m et joignons au point le point/*, où a' m coupe \\ la droite «/* rencontrera L'au point /«'homologue de m. En effet, en désignant par a le point où), coupe aa\ on voit que les divisions abcm , n'b' c'm' sont homographiques comme étant homologiques de la division ap7/x [fig. 579).

Fi s- 579.

i° Décrivons un cercle quelconque dans le plan des droites L et L' [fi g. 58o) et joignons à un point quelconque O de la circonférence les points a\b\c\ m ; les droites ainsi obtenues couperont la cir¬

conférence en des points que nous désignerons respectivement par a, [3,7, a', E^î7\p- B étant le point commun à a(3' et a' (3, C le point commun à ay'eta'7, tirons la droite BC que nous désignerons par l. En joignant le point a au point de rencontre M de l et de a g, on obtient une droite aM qui coupe le cercle en p.', et il suffit de mener O u' jusqu’à sa rencontre avec L' pour avoir l’homologue m' de m. En effet, si ni' désigne l’homologue de ni, les faisceaux [O, abcm), et (O ,a'b'c'm') ou (O, ocftyp), (O, sont homographiques; donc (1108) il en est de môme des faisceaux (a, a' p'r/p') et (a',ap7«.); mais, commeces derniers faisceaux ont un rayon

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

homologue commun aa', les intersections B, C, M, des autres couples de rayons homologues sont en ligne droite; donc, les rayons aa' et a' ^

Fijy. 58o.

se croisent sur la droite BC ou 1 ; en d’autres termes, la droite qui joint a au point M, où a'y. rencontre \ passe par le point où O ni' coupe le cercle.

Cette dernière construction s’applique au cas où les deux divisions (a,at), (b,bt) ( c, 6‘( ) sont sur la même droite L, et elle donne aisément les points doubles e et/; il suffit, en effet de joindre le point O aux points s et cp où 1 coupe le cercle et de prolonger les droites Os et O? jusqu’à leurs rencontres avec L; si la droite b estextérieure au cercle, les points doubles sont imaginaires.

1125s Construire un faisceau involutif, connaissant deux couples (O <7 et O a'), (O b et Ob'), de rayons homologues.

On tracera ( fl g. 5yb) un cercle quelconque passant par le point O, et l’on déterminera le point w de concours des cordes aa' , bb\ interceptées par les deux angles a O a', b O b'. Cela posé, on obtiendra :

i° Le rayon Oc', homologue d’un rayon donné quelconque Oc, en joignant le point w au point c où Oc rencontre le cercle, puis le point O au second pointe' d’intersection du cercle et de la droite wc (1119);

i° Les rayons doubles, en joignant le point O aux points de contact des tangentes menées par w;

3° Le système des deux rayons rectangulaires, en joignant le point O aux extrémités du diamètre qui passe par w.

1 1 26. Deux faisceaux involutif s de meme sommet étant donnés chacun