LIVRE VIII

LES COURBES USUELLES

relatif de la proposition (1119).

Quand des angles circonscrits à une conique ont leurs sommets en ligne droite , les segments quils interceptent sur une tangente quelconque à la courbe forment une iiwolution; ce théorème et sa réciproque se démontrent par des raisonnements corrélatifs de ceux faits au n° 1119; le lecteur les rétablira sans peine et pourra en déduire des tracés graphiques corrélatifs de ceux exposés aux nos 1125 et suivants.

1140. Deux points A et A' {fi g. 584) sont dits conjugués par rapport à une conique lorsque la polaire de l’un passe par l’autre. Ces points sont conjugués harmoniques par rapport aux deux points (réels ou imaginaires) a et 6 suivant lesquels la droite AA' qui les joint rencontre la conique. Lorsque les points a et p sont réels, l’un des points A et A' est intérieur et l’autre extérieur à la courbe.

Plusieurs couples de points conjugués sur une même droite forment une involution dont les points doubles sont les points où la droite coupe laconique (1114). Quand ces points doubles sont imaginaires, il existe de chaque côté de la droite un point d’où l’on voit sous un angle droit chaque couple de points conjugués.

Deux droites L et L' sont dites conjuguées par rapport à une conique lorsque le pôle de l’une est situé sur l’autre. Ces deux droites sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux tangentes réelles ou imaginaires issues de leur point d’intersection; l’une au moins des droites conjuguées rencontre toujours la courbe.

Plusieurs couples de droites conjuguées issues d’un même point forment un faisceau en involution dont les rayons doubles sont les tangentes (réelles ou imaginaires) issues de ce point. Donc (1119), par un point quelconque du plan d'une conique passe toujours un couple de droites conjuguées rectangulaires ; et il n’en passe en général qu’un seul, à moins que tous les couples de droites conjuguées passant par ce point ne soient rectangulaires, ce qui a lieu pour certains points remarquables dont nous parlerons plus tard.

Les deux propositions qui précèdent fournissent des solutions simples des deux problèmes suivants :

Trouver les points d' intersection d’une conique et d’une droite clc son plan.

On prend deux points a et b sur la droite; on détermine leurs polaires et l’on prend les points a!

et b' où ces polaires coupent la droite; les points cherchés sont les

Mener les tangentes à une conique par un point de son plan.

On mène deux droites A et B par le point; on cherche leurs pôles, puis, en les joignant au point donné, on obtient deux nouvelles droites A' et B'. Les tangentes cherchées

GÉOMÉTRIE DANS ^ESPACE

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points doubles (réels ou imaginaires) do l’involution déterminée par les deux couples ( a , a'), (b, b').

sont les rayons doubles (réels ou imaginaires) du faisceau involutif déterminé par les deux cou nies (A, A'), (B, B').

On dit qu’un triangle est autopolaire ou conjugué par rapport à une conique lorsque chaque sommet est le pôle du côté opposé.

Il est évident que, dans le plan d’une conique, il existe une infinité de triangles autopolaires : il suffit de prendre pour les doux premiers sommets deux points conjugués quelconques a et b par rapport à la conique et pour troisième sommet c le pôle de ab\ en effet, la polaire de a devant passer par b qui est conjugué de a et aussi par c qui est le pôle de a b sera la droite Zm, et l’on verrait de meme que la polaire de b est ac.

Dans tout triangle autopolaire abc , deux sommets quelconques sont conjugués aussi bien que deux côtes quelconques. L'un des sommets est intérieur à la conique , et les deux autres sont extérieurs ; car, des deux points conjugués a et Z;, l’un au moins, a par exemple, est extérieur; sa polaire bc coupe donc la courbe et, par suite, les points conjugués b et c sont l’un intérieur, l’autre extérieur.

I l il. Les polaires OA, OB, OC, 01), de quatre point*' a , b, c , </, situes sur une même droite h, forment un faisceau dont le rapport anliar mo nique est égal à celui des quatre points.

En effet, soient a l, b’, c'. d' . les points où la droite D rencontre le faisceau (0, ABCD). Comme le centre 0 du faisceau est le pôle de la droite L (1137), les points a et a\ b et //, c et cj d et d' , sont conjugués; ils forment donc une involution, et, par suite, le rapport anharmonique ( abcd ) est égal au rapport anliar moni que {a' b' c' d'), qui n’est autre que le rapport anharmonique du faisceau (0, ABCD).