DIAMÈTRES ET CENTRE

1 1 12. Les deux points de rencontre a et (3 d’une conique et cl’une droite sont réels ou imaginaires, mais le point milieu du segment oct3 est toujours réel; c’est le conjugué harmonique par rapport à a (3 du point situé à l’infini sur la droite considérée (11 11). 11 résulte de là que le lieu clés milieux des cordes d'une conique parallèles à une direction donnée est une ligne droite ; c’est la polaire du point à l’infini commun à toutes les cordes. Cette droite, qui passe évidemment parles points de contact des tangentes parallèles à la direction donnée, a reçu le nom de diamètre.

A chaque direction des cordes répond un diamètre. Tous les diamètres

LES COURBES USUELLES

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passent par un point unique, pôle de la droite de l'infini (1137), et qu’on nomme centre de la conique.

La polaire du centre étant la droite de l’infini, les tangentes réelles ou imaginaires issues du centre ont leurs points de contact à l’infini; on leur donne le nom d 'asymptotes.

Quand un angle est circonscrit à une conique, la droite qui joint le sommet au milieu de la corde de contact est un diamètre ; car c’est la polaire du point à l’infini situé sur cette corde.

1143. On dit que deux diamètres sont conjugués lorsque le pôle de l’un est situé sur l’autre. Le pôle d’un diamètre étant à l’infini sur la direction des cordes correspondantes, on voit que, si deux diamètres sont conjugués , chacun d’eux divise en deux parties égalés les cordes parallèles ci l’autre.

La polaire L d’un point p est parallèle au diamètre conjugué O b de

Fig.

Fi(j. 586.

celui qui passe par ce point p {fi g. 585); car ce diamètre doit passer par le pôle du diamètre O a et ce pôle est à l’infini sur O b.

En particulier, si le diamètre a O a' rencontre la courbe , les tangentes T et T' aux extrémités cle ce diamètre sont parallèles ci son conjugué O b.

1114. Plusieurs couples de diamètres conjugués forment un faisceau en involution (1140) ; les axes de symétrie de la courbe forment le couple de rayons, homologues rectangulaires.

R. et de C. — Tr. (le Géom. (Il® Partie).

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

Dans l’ellipse {fïg. 585), le sommet du faisceau, c’esl-à-dire le centre de la courbe étant intérieur, il n’y a pas de rayons doubles; un couple quelconque de diamètres conjugués est alors séparé par tout autre couple. D’ailleurs tout diamètre coupe la courbe en deux points.

Dans l’hyperbole (fîg- 586), le centre étant extérieur, le faisceau a pour rayons doubles les tangentes issues de ce point, c’est-à-dire les deux asymptotes. De là résultent diverses conséquences :

i° Le diamètre conjugué d’une asymptote est cette asymptote ellemême.

2° Deux diamètres conjugués quelconques OL et OL' divisent harmoniquement l’angle «Oc des asymptotes.

3° De deux couples de diamètres conjugués (0«r, Oj) (OL, OL’), l’un est toujours compris dans l’autre.

4° De deux diamètres conjugués Ox et O/, l’un rencontre la courbe, l’autre ne la rencontre pas.

5° La portion 00' d’une tangente quelconque comprise entre les asymptotes est divisée en deux parties égales par le point de contact C; car 00' est parallèle au diamètre conjugué O y de OC, c’est-à-dire au rayon O y du faisceau harmonique (Oj, 0«, 0.r, Oc) (A- 586).

A cause de la symétrie par rapport au centre, la portion acr' de la tangente en C' comprise entre les asymptotes est égale et parallèle à 00' et la figure Oo-cr' 0' est un parallélogramme. Par analogie avec ce qui a été dit pour l’axe non transverse (1017), on donne à la partie DD' du diamètre non transverse Oy, qui est comprise dans le parallélogramme Oaa'O', le non de longueur de ce diamètre; mais ce n’est là qu’une dénomination introduite pour faciliter le langage, et il faut bien se garder de croire que les points D et D', quoique portant le nom d’ extrémités du diamètre non transverse O y, appartiennent à la courbe; il n’y a pas de points de la courbe sur y'oy.

1145. La polaire d’un point quelconque p du plan d’une ellipse ou d’une hyperbole rencontre le diamètre passant par le pôle p en un point // qui est conjugué de p par rapport à la conique (1113). Les couples de points tels que p et p' {,fig- 585 et 586) forment sur ce diamètre une involution dont le point central est le centre O de la conique, puisque le conjugué de O est à l’infini (1112). Si ce diamètre est transverse (ellipse ou hyperbole), ses extrémités sont les points doubles de l’involution, et l’on a, en appelant a' la demi-