livre vin

LUS CO U II B ES USUELLES

longueur de ce diamètre,

(1) Op.Op' = a"î.

Si le diamètre est non transverse (hyperbole), il n’y a pas de points doubles; mais alors les points D et D', que nous sommes convenus d’appeler les extrémités de ce diamètre, sont évidemment conjugués, car le pôle de D6 est sur la polaire de 6, c’est-à-dire sur la droite CD' qui, étant parallèle à l’asymptote, est la corde de contact des tangentes 0 u et ÔC; on a dans ce cas

(•2) Op.O// = — //2,

// étant la demi-longueur OD du diamètre non transverse.

11 46. On nomme cordes supplémentaires deux cordes qui, partant d’un même point m de la conique (fi g. 587), aboutissent aux extrémités d’un même diamètre AA'. Deux cordes supplémentaires Am, A 'm, sont parallèles à un système clc diamètres conjugués. En effet, soient OC et OD deux diamètres respectivement parallèles à A ' m et à Am. OC, passant par le milieu O de AA', passe par le milieu h de Am; il divise donc en deux parties égales les cordes parallèles à OD. et par suite OC et OD sont conjugués. Inversement, deux droites Am et A' m menées par les extrémités d’un diamètre AA', parallèlement à deux diamètres conjugués quelconques OD et OC, se coupent sur la conique. Car désignons par ;x le point* où la corde Am parallèle à OD coupe la conique, et menons ;x A' ; les cordes supplémentaires A|x, A'p, sont parallèles à deux diamètres conjugués, et, comme Ap. est parallèle à OD, A'jx doit être parallèle à OC; elle ne diffère donc pas de A! m et les points m et [x se confondent.

Cela posé, considérons séparément l’ellipse, l’hyperbole et la parabole.

1147. L'ellipse n’avant aucun point à l’infini, la droite de l’infini est extérieure à la courbe, et son pôle O, c’est-à-dire le centre de l’ellipse, est à l’intérieur de la courbe. Tous les diamètres rencontrant la courbe en deux points réels sont limités ; et, comme les tangentes issues du centre sont imaginaires, le faisceau en involution formé par les divers couples de diamètres conjugués n’a pas de rayons doubles; donc, un couple quelconque (OA, OB) de deux diamètres conjugués est séparé par tout autre couple (OC, OD); en d’autres termes, si OC est situé dans l’angle BOA (Jtg. 587), OD est extérieur à cet angle.

Le diamètre AA' étant la polaire du point à l’infini sur le diamètre

GÉOMÉTRIE DANS (/ESPACE

conjugué OB, les cordes supplémentaires A m et Am' tracent sur OB, quand m se déplace sur la courbe, une involution dont B est un point double (1133). On a donc, en appelant a et //' les points où OB rencontre Am et Am', la relation

(i) O/i .O/i' — OB .

Prenons pour axe des x le demi-diamètre OA, dont nous désignerons la longueur par a', et pour axe des y le demi-diamètre OB, dont nous désignerons la longueur par b' : y et x étant les coordonnées mp et O p d’un point quelconque m de la conique, on a, en considérant d’abord les

triangles semblables //OA et mp A, puis les triangles semblables //'OA et mp A',

y On y On'

Cl — X (l Cl H- X (l

en multipliant membre à membre et en ayant égard à la relation (î), on obtient pour l’équation de l’ellipse

Si l’on désigne par x', y', et par x", y" les coordonnées des extrémités C et D des diamètres OC et OD parallèles aux cordes A 'm et Am, on a, en considérant d’abord les triangles semblables OC 7 et A'//0, puis les triangles semblables OD/% A nO,

LES COURBES USUELLES