LIVRE VIII
en multipliant membre à membre et en ayant égard à la relation (i), on trouve
I ff
Le rapport —, reçoit le nom de coefficient angulaire du diamètre OC, de
JL
môme — est le coefficienl angulaire du diamètre OD.
Lorsqu’on prend pour axes de coordonnées les axes mômes de la courbe, on a. en désignant par a le demi grand axe dirigé suivant Oxet par b le demi petit axe dirigé suivant Oj,
les coordonnées étant alors rectangulaires, le coefficient angulaire — , est
égal à tangCOA. et — est égal à tangDOA.
JC
11 est facile d’exprimer les coordonnées x" , y" de l’extrémité D d’un diamètre OD en fonction des coordonnées x\y\ de l’extrémité C de son conjugué OC. En effet, le point C étant sur la courbe, ses coordonnées x' et y' satisfont à l'équation (4); on peut donc poser
(6) x' = a coso', y' — b sin©',
et de môme
( 7 ) x" = a cos y " = b sin f .
La relation (5) devient alors
cos(©" — ©') — o, d’où y = ™ -h y
et, par suite,
y" = b cos y — - x' ; J r a 1
= — a sm o
GÉOMÉTRIE DANS l/ESPACE.
pour avoir les coordonnées de l’autre extrémité D' du diamètre OD, il suffirait de changer les signes.
Les relations (6) et (8) donnent
x'2 -h x"2 — ( r , y'1 -h y"1 — lé ;
donc la somme des carrés des projections orthogonales des deux demd diamètres conjugués OC et 00 sur chaque axe est constante.
En ajoutant les deux égalités précédentes, on a
[xn /2) 4- (x"2 4- y,n ) = a 2 -4 lé ou ÔC 4- ÔD = a2 4- lé:,
donc , la somme des carrés de deux demi-diamètres conjugués est constante.
Le triangle OCD est la moitié du parallélogramme construit sur les deux demi-diamètres conjugués OC et OD. Il est égal au trapèze CD /•</, diminué de la somme des deux triangles rectangles OC<y, ODr; son aire a donc pour expression
ou - ab , eu égard aux formules (6) et (8). Donc, l'aire du parallèle -
fjL
gramme construit sur deux demi-diamètres conjugués est constante.
Les deux derniers théorèmes sont dus à Apollonius.
La proposition précédente peut s’écrire, d’après une expression bien connue de l’aire du triangle,
OC . OD si n COD = ab.
L’angle obtus COD de deux diamètres conjugués est maximum quand son sinus est minimum, c’est-à-dire quand le produit OC.OD ou son carré est
maximum ; ce qui a lieu pour OC — OD, puisque OC 4- OD est constant. Ainsi, les diamètres conjugués qui font le plus grand angle sont les diamètres conjugues égaux. Le carré de leur demi-longueur commune est
- ( a 2 4- U1), et l’on a
1 ( d1 4- b2) = x- * -t- y "* = a* cos2 cp' 4- b2 sin2<j/.
‘JL
On déduit de là sin cp' =-■—= cosÿ ; par suite, les coordonnées x' et/'
du point C sont alors proportionnelles à a et b, de sorte que les diamètres conjugués égaux sont dirigés suivant les diagonales du rectangle construit sur les axes.
LES COURBES USUELLES
L’angle COD de deux demi-diamèlres conjugués est droit lorsque OC coïncide avec le grand axe, puis il augmente jusqu’à ce que OC soit dirigé suivant une diagonale du rectangle des axes ; il diminue ensuite et redevient droit lorsque OC reprend la position du petit axe.
Quand les axes a et b de l’ellipse sont égaux entre eux, l’équation (4) se réduit à xl -h y2 = «2; tous les points de la courbe sont donc à une distance du centre égale à a\ en d’autres termes, l’ellipse dégénère en un cercle.
Pour une même abscisse O p (Jig. 588), c’est-à-dire pour une même
valeur de l’angle 7', l’ordonnée mp de l’ellipse est b sincp', et celle np du
cercle décrit sur le grand axe comme diamètre est a sincp'; le rapport —
est donc constant et égal à - •
Remarquons enfin que l’angle auxiliaire <p', dont l’emploi est si commode, est précisément l’angle nOp.
1 148. L’ hyperbole ayant deux points réels sur la droite de l’infini, son centre est extérieur à la courbe (1133); les tangentes O n, O e, issues du centre, c’est-à-dire les asymptotes, sont donc réelles; ce sont les rayons doubles du faisceau en involution formé par les deux couples de diamètres conjugués. Il suit de là que deux diamètres conjugués (pœlcorupæs divisent harmoniquement l'angle des asymptotes et qu’aucun couple de diamètres conjugués n’est séparé par aucun autre. Enfin, de deux diamètres conjugués, l’un rencontre réellement la courbe et l’autre ne la rencontre pas (1144).
Les portions AE, AE' (fîg. 589) d'une tangente comprise entre l’hyperbole et ses asymptotes sont égales ; car les asymptotes Ou et Or, le diamètre OXx et son conjugué 0/ forment un faisceau harmonique, et la tangente EAE', étant parallèle au rayon 0 y de ce faisceau (11 43), est divisée en deux parties égales par les autres rayons. 11 suit de là que, si l’on mène AP et AP' parallèles aux asymptotes, P est le milieu de OE et P' le milieu de OE'; donc, lorsqu’on prend les asymptotes pour axes de
4o8 géométrie dans l’espace.
coordonnées , la sous-tangente OE' est double de l'abscisse OP' du point de contact.
Les portions gni et g' ni' d'une sécante gg\ comprises entre l'hyperbole et ses asymptotes, sont égales. En effet, soit EAE' la tangente parallèle à gg\ et OA le diamètre qui passe au point de contact; ce diamètre divise la corde mm1 de l’hyperbole en deux parties im et im' égales entre elles; mais, puisque A est le milieu de EE', i est évidemment le milieu de la parallèle gg' \ donc ig — ig', et, par suite, ig — im ou gm est égal à ig' — im' ou g'm'.
Une tangente quelconque EAE', lorsque son point de contact A se déplace sur la courbe, trace sur les asymptotes (1130) deux divisions ho-
Fig. 58p.
mographiques; et, comme le point O correspond évidemment à l’infini dans l’une et l’autre division, le produit OE.OE' est constant; il en est donc de même de l’aire du triangle OEE' et, par suite, de Paire du parallélogramme OPAP', qui est la moitié de ce triangle. On voit par là que, si l’on désigne par x etjrles coordonnées d’un point quelconque A de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes, Ou et 0<», on a pour l’équation de cette courbe xy = const.
1149. AOA' étant un diamètre transverse quelconque de l’hyperbole, menons les tangentes en A et A' qui coupent les asymptotes, la première en E et E', l’autre en F et F'. Les triangles OAE, AO'F', sontégaux, puisqu’ils ont leurs angles respectivement égaux et que OA =OA'; donc AE = A'F'; par suite, les droites EE', FF', sont égales, et, comme elles sont parallèles (1143), la figure EFF'E' est un parallélogramme dont O est le centre. Soient B et B' les points où le diamètre yOy' conjugué de OA rencontre EF etE'F'; B est le milieu de EF, B' celui de E'F', les droites AB', A'B, sont parallèles à l’asymptote Ou, et les droites AB et A' B' à l’asymptote Oc.
Cela étant, posons OA = a', OB = //, et prenons les deux demi-diamètres conjugués OA.r, OBj, pour axes des coordonnées; m étant un
