LIVRE VIII

LES COURBES USUELLES

point quelconque de l’hyperbole, les deux cordes supplémentaires Am, A'///, déterminent sur le diamètre yOy' deux points n et n' qui engendrent une involulion (1147) dont B et B' sont évidemment deux points homologues. On a donc

On. On' = OB.OB' = — b'2.

Dès lors, tous les raisonnements faits et les résultats obtenus pour l’ellipse subsistent, en changeant b'2 en — b'2 ou b' en b' ^ — 1. Ainsi : i° L’hyperbole rapportée à deux diamètres conjugués a pour équation

Pour x ~ o, on ajr = b' \J — ï ; de là le nom de longueur du demi diamètre non transverse attribué à OB = b' .

a et b étant les longueurs des deux axes, 011 a, en prenant ces droites pour axes de coordonnées rectangulaires,

Les triangles semblables giO , EAO, donnent

gi EA b ' Oi~Ôk~ a'

ou

g‘ =^Ui :

on a d'ailleurs, par l’équation de l'hyperbole,

mi

donc, en retranchant,

gi — mi = b'2

GU

mi) (gi — mi) = gm.gm' = mg.mg' ;

ainsi le produit des segments d'une sécante, compris entre un point de la courbe et les asymptotes , est égal au carré du clcmi-diamètre parallèle à la sécante.

20 La relation entre les coefficients angulaires de deux demi-diamètres conjugués est

OU

suivant qu’on prend pour axes de coordonnées les demi-diamètres conjugués a' et b' ou les demi-axes a et b de la courbe.

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

IO

3° Les coordonnées de l’extrémilé d’un demi-diamètre s'exprimant en fonction des coordonnées de l’extrémité du demi-diamètre conjugué par les formules

qui sontdues à M. Chasles ( Aperçu historique, etc.).

4° La différence des carrés des projections de deux demi-diamètres conjugués sur un axe est constante. La différence des carrés de deux diamètres conjugués quelconques est constante, ainsi que l'aire du parallélogramme construit sur ces diamètres.

La relation an — b12 — a2 — b2 montre que, si «est différent de £, «'est différent de b' ; l'hyperbole n'a donc pas de diamètres conjugués égaux.

Si a — b) on a «' — b\ c’est-à-dire que tout diamètre est alors égal a son conjugué , et l’hyperbole est dite équilatère. Le parallélogramme EE'F'F construit sur deux diamètres conjugués quelconques est dans ce cas un losange, et les asymptotes qui en sont les diagonales sont alors rectangulaires.

Nous avons vu (1148) que l’hyperbole rapportée à ses asymptotes a pour équation xy = K2 ; en supposant que dans la fg. 58q les droites OA et OB soient les axes « et b de la courbe, le parallélogramme OA E' B' sera un rectangle, et les coordonnées OP' et P' A du sommet A par rapport aux asymptotes seront l’une et l’autre égales à la moitié de la diagonale

V /a2 -+- b2 de ce rectangle ; on a donc

pour une hyperbole quelconque, et, en particulier pour l'hyperbole équilatère, K2 = - a2. On donne souvent à cette constante K2, que nous venons d’exprimer en fonction des axes, le nom de puissance de l'hyperbole.

THÉORÈME

1150. Dans l’ellipse et dans l’hyperbole :

î ° Deux diamètres conjugues quelconques interceptent sur une tangente fixe ST deux segments CT et CS dont le produit est constant.

2° Une tangente TMT' détermine sur deux tangentes fixes et parallèles deux segments CT, CT dont le produit est constant (fi g. 590).

En effet :

i° Le faisceau involutif formé par les divers couples de diamètres conjugués détermine, sur la tangente fixe SC T, une involution. Le point de

LES COURBES USUELLES

contact C est le point central de cette involution, puisque son homologue est à l’infini, attendu que, lorsque S vient en C, T est sur le diamètre OD conjugué de OC, c’est-à-dire parallèle à CT. Le produit CT. CS est donc constant.

i° Les droites OT et OT' étant respectivement les diamètres des cordes parallèles à MC et à MC' sont deux diamètres conjugués, puisque ces cordes sont supplémentaires; d’ailleurs, S désignant le point où T' O

Fig. 590.

prolongée rencontre la tangente CT, les deux segments C'T' et CS, symétriques par rapport au centre, sont égaux et de signe contraire; on a donc

CT. C'T' — — CT.CS = const.

1151. Le faisceau involutif des diamètres conjugués n’a pas de rayons doubles dans l’ellipse, tandis qu’il a pour rayons doubles les asymptotes dans l’hyperbole. Donc le produit