CT. CS

est négatif dans l’ellipse et positif dans l'hyperbole. Quant à sa valeur absolue elle est, pour l’une et l’autre courbe, égale au carré élu de nudiamètre OD parallèle ci la tangente SCT. En effet, supposons que CF soit égal à OD; alors, dans l’ellipse (fig- 5qo), DT étant parallèle à OC, C'T' et son égal SC sont égaux à OD; dans l’hyperbole (fig- 580), T est alors en 0 sur l’asymptote, en vertu de la définition (1114) de la longueur du demi-diamètre non transverse OD, et comme c’est le point double de Tinvolution, S est aussi en 0 et par suite CT comme CS est égal à OD.

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

PROBLÈMES

1152. Voici quelques problèmes usuels relatifs à l’ellipse et à l’hyperbole.

i° Construire une hyperbole connaissant les asymptotes Ox et O y et un point E (./%'. 591).

En menant par le point donné E une droite quelconque, prenant les points d’intersection H et IL de cette droite avec les asymptotes, puis portant ILE' = EU, on aura un nouveau point E' de la courbe (1148). La tangente E'T en ce point s’obtiendra en menant E'K parallèle à O y, puis en prenant KT = OK (1148). On obtiendra ainsi autant de points que l’on voudra de l’hyperbole et les tangentes en ces points.

Fig. 5f)i.

Les axes seront dirigés suivant les bissectrices O a et 0 ,3 des angles des asymptotes. Le point E et par suite la courbe étant ici situés dans l’angle j O.r des asymptotes et dans son opposé par le sommet, ce sera sur la bissectrice Oa de l’angle yOx que sera l’axe transverse. En menant par E la parallèle à 0(3 jusqu’à ses rencontres R et S avec les asymptotes, et construisant la moyenne proportionnelle Ee entre les segments RE, ES, on aura (1149 ) la demi-longueur b de l’axe non transverse; on portera celte longueur de 0 en B, sur 0(3; puis, en menant RA parallèle à Ox, on obtiendra sur Oa le point A qui donnera la demilongueur OA de l’axe transverse.

On pourrait, si l’on voulait, commencer par déterminer a en menant par E une parallèle à 0 a.

•î° Construire les axes d’une hyperbole ou d'une ellipse connaissant en grandeur et position un système de diamètres conjugués .

Pour l’hyperbole, il faut indiquer en outre quel est celui des deux demi-diamètres donnés qui est transverse; l’extrémité de ce demi-dia-