LIVRE VIII

mètre est alors un point donné de la courbe, et, comme les diagonales du parallélogramme construit sur les diamètres conjugués donnés sont les asymptotes, on voit qu’on est ramené au problème précédent.

Pour l’ellipse, on déterminera par le procédé du n° 1119 le couple O.*', Oj de rayons homologues rectangulaires dans le faisceau involutif formé d’une part par le couple donné OC et OD de diamètres conjugués et d’autre part par le couple dirigé suivant les diagonales OE et 01 du parallélogramme construit sur le premier couple. Puis, pour avoir, par exemple, la longueur de l’axe dirigé suivant O.r, on observera que la projection P de E sur Ox est le pied de la polaire du point T où le côté DE, c’est-à-dire la tangente en E, coupe 0 x, en sorte que la longueur cherchée sera la moyenne proportionnelle entre OP et OT.

Nous laissons au lecteur le soin d’effectuer cette construction; nous avons déjà donné ( 1071) une autre solution du môme problème.

3° Trouver le diamètre conjugué d'un diamètre donné OM, connaissant en grandeur et en position un premier couple de diamètres conjugués AA', B B' (Jig. 592).

La solution est très-simple pour l’hyperbole. En menant les diago-

Fiff. 592.

nales du parallélogramme construit sur les deux diamètres AA' et BB , on a les asymptotes OC et OD. Or, le diamètre cherché ON est le conjugué harmonique du diamètre donné OM par rapport à l’angle COD des asymptotes; on aura donc un point Iv de ce diamètre ON, en menant une parallèle à OD, et en portant sur cette ligne, à partir du point 1 0(1 elle coupe OC, un segment IK égal et opposé au segment IG intercepté dans l’angle COM.

Pour l’ellipse, on opère de même. Seulement, après avoir trouvé le point K, on mène par ce point une parallèle à OA, jusqu’à sa rencontre II avec OB, et l’on prolonge KII d’une quantité égale UK'.

GÉOMÉTRIE DANS ^ESPACE

OK' sera le diamètre conjugué de OM. En effet, prenons pour axes coordonnés les droites OA et OB, et soient x et j>- les coordonnées d’un point quelconque de OM, x1 et ji les coordonnées du point K, x' et f les coordonnées du point K'. Puisque OE est le conjugué de OM dans l’hyperbole qui a pour diamètres conjugués

OA = a' et