LIVRE VIII

faire la discussion qui est facile et intéressante et qui montre une fois de plus Futilité de l’involution.

1154. La parabole étant tangente à la droite de l’infini, son centre, qui est le pôle ou le point de contact de cette tangente, disparaît à l’infini. Donc, tous les diamètres a.r , nu, AX, ..., sont parallèles, et cette courbe n'a qu'un axe AX à distance finie. Le point A, où cet axe rencontre la courbe, est le sommet [fg. 5g3) de la parabole.

Une tangente mobile détermine sur deux tangentes fixes d’une conique deux divisions homographiques (1130); dans la parabole, ces deux divisions homographiques sont semblables (1 102), puisque, la droite de l’infini étant une des positions de la tangente mobile, les points à l’infini dans les deux divisions sont homologues. Donc, toutes les tangentes à la parabole divisent deux tangentes fixes en parties proportionnelles ;et réciproquement, si deux droites fixes sont divisées en parties proportionnelles , V enveloppe des droites qui joignent les points homologues est une parabole tangente aux deux droites fixes. Celte propriété est très-utile dans les applications.

Prenons pour axes de coordonnées un diamètre quelconque ax et la tangente ay à son extrémité a ; m et n étant deux points quelconques de la parabole, menons les ordonnées mr et nq, la droite an et le diamètre nu qui coupent respectivement mr en c et en c' . On a (1147)

mr = rc . rc' ;

rc' = nq , et

rc nq ar aq

mais

4 16 Donc

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

rc . rc mr nq

- ou - = — ^ •

ar ar cnq

En d’autres termes, l’expression — est constante; en la désignant par 2/?, l’équation de la parabole rapportée aux axes de coordonnées ax et ay est

y = ipx.

La valeur de p varie avec la position du point a de la courbe, que l’on prend pour origine. Au sommet A, les axes deviennent rectangulaires, et la valeur correspondante de la constante p est ce qu’on appelle le paramètre de la parabole.

Soit nt la tangente en n qui coupe ax en t\ nq est la polaire du point t (1 136); par suite, les quatre points t , <7, <7, c© , forment un système harmonique; on a donc at = — aq, d’où t<f = iaq. Ainsi, dans la para bole, la sous-tangente (c’est-à-dire la portion tq du diamètre ax comprise entre les pieds de l’ordonnée et de la tangente) est double de l’abscisse du point de contact.