FOYERS ET DIRECTRICES

1155. On nomme foyer tout point du plan d’une conique autour duquel chaque droite est perpendiculaire à sa conjuguée.

Un foyer ne peut se trouver que sur un axe; car, pour tout autre point du plan, le diamètre qui passe par ce point et la parallèle au conjugué de ce diamètre forment un couple de droites conjuguées non rectangulaires.

Pour prouver qu’un point F d’un axe est un foyer, il suffit de démontrer qu’on peut mener par ce point F un couple de deux droites conjuguées rectangulaires et non parallèles aux axes; car l’axe proposé et la parallèle à l’autre axe menée par le point F formeront un second couple de droites conjuguées rectangulaires, et l’on sait (1119) qu’autour d’un point tous les couples de droites conjuguées sont rectangulaires dès que deux couples le sont.

Cela posé, considérons Y ellipse. — Soient O, le centre; Ou et Oe, les directions des deux axes dont nous désignerons les demi-longueurs par a et S ; OX et Op., les directions des diagonales du rectangle construit sur les axes; F, un point quelconque de l’axe Om, et GDP, la polaire du point F par rapport à l’ellipse {fig. 594). Menons FQ parallèle à OX. Le pôle de FQ sera sur la polaire GD de F et sur la polaire du point à l’infini de FQ ou de OX, c’est-à-dire sur le diamètre O// conjugué de OX;