OD
D'ailleurs, puisque GP est la polaire de F, on a (2) OF.OD = a2.
En multipliant (i) et (2), on obtient
OF2 = a2 - (32, d’où OF = ±
Il y a donc sur Ou deux foyers qui sont réels ou imaginaires, suivant que 2 est supérieur ou inférieur à (3. Ainsi, l’ellipse a deux foyers réels sur le grand axe et deux foyers imaginaires sur le petit axe; et, si l’on désigne par <7, b, c, le demi-grand axe, le demi-petit axe et la demi-distance focale OF, on a
Considérons maintenant X hyperbole. — Soient O le centre; Ou et Ov U. cl lë C. — Tr. de Gcom. (II* Partie). 27
GÉOMÉTRIE DANS l’eSI’ACE.
les directions des deux axes dont nous désignerons les demi-longueurs (1149) par a et (3; CU une asymptote; F un point quelconque de l’axe 0^, et GD ia polaire du point F par rapport à l'hyperbole [fîg. 5$ 5). Menons FQ parallèle à (H; le pôle de FQ sera sur la polaire GD de F et
Fie- 595.
sur la polaire du pointa l’infini de FQ ou de (U, c’est-à-dire sur puisqu’une asymptote est sa propre conjuguée; ce sera donc le point G commun à CG et à GD, de sorte que FG sera la conjuguée de FQ. Donc, pour que le point F soit un foyer, il faut et il suffit que l’angle GFQ soit droit, c’est-à-dire qu’on ait
DF 2 = DG.QD.
Mais on a
QD DG p DF“ OD ~ a'
On en déduit, comme ci-dessus,
DF
OD
d’ou
OF
OD
D’ailleurs, puisque GD est la polaire de F, on a
