LIVRE VIII

LES COURBES USUELLES

foyers imaginaires sur l’axe non transverse. En désignant respectivement par a,b,c, le demi-axe transverse, le demi-axe non transverse et la demidistance focale OF, on a

1 l,v)6. Dans le [dan d’une conique à centre, considérons deux droites conjuguées rectangulaires quelconques hs et ht ( fig . 5c,6).

Fiff. 5g6.

Soient n et ri les points où ces deux droites rencontrent le diamètre OC relatif aux cordes parallèles à ht, m et tri les points où elles coupent l’un des axes de la conique, et enfin F et F' les foyers situés sur cet axe. En menant par F des parallèles à hs et à ht jusqu’à leurs rencontres p et // avec le diamètre OC, on a

O tri OF O/n OF On' O//’ On ü pn

d’où, en multipliant,

Ont .O/n' __ O F

On. On' Op.Op'

Or les dénominateurs sont égaux l’un et l’autre à OC, puisque n et ri sont conjugués par rapport à la conique aussi bien que p et //. Les numérateurs doivent donc être égaux, et l’on a

(1) Om.Qtri— c7.

Donc le segment compris entre les deux foyers situés sur un meme axe est divisé harmoniquement par tout couple de droites conjuguées rectangulaires , ou, en d’autres termes, les divers couples de droites conjuguées rectangulaires déterminent sur chacun des axes de la conique une involution dont le point central est le centre de la conique , et dont les points doubles sont les foyers réels ou imaginaires appartenant à cet axe .

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

[\‘.lO

1157. Quand nous parlerons désormais des deux foyers d’une conique, il s’agira, à moins d’avertissement contraire, des deux foyers réels.

Les deux droites conjuguées rectangulaires (jui passent par un point cpielconque du plan (Lune conique sont les bissectrices des angles formés par les droites qui unissent ce point aux deux foyers. Car ces quatre droites, divisant harmoniquement l’axe focal, forment un faisceau harmonique, et, comme les deux premières sont rectangulaires, elles sont les bissectrices des angles formés par les deux autres.

En particulier, si le point considéré appartient à la conique, les deux droites conjuguées rectangulaires qui passent par ce point sont la tangente et la normale. Donc, dans toute conique à centre , la tangente et la normale sont les bissectrices des angles que forment les deux rayons vecteurs menés de ce point aux deux foyers.

Dans l’ellipse comme dans l’hyperbole, les deux foyers réels sont à l’intérieur de la courbe; cela résulte des formules du n° 1155. Quant au centre, on sait qu’il est intérieur pour l’ellipse et extérieur pour l’hyperbole. — Il suit de là que, si M est un point de la conique, et si F et F' sont ses foyers, le triangle MFF' est intérieur à l’ellipse, tandis que pour l’hyperbole il est en partie intérieur et en partie extérieur. Donc, si, partant du point M, on veut, en se déplaçant un peu sur les droites MF et MF', rester à l’intérieur de la courbe, il faudra se déplacer, pour l’ellipse, dans le sens de MF et de MF', et, pour l’hyperbole, dans le sens de l’une de ces droites et dans le sens opposé à l’autre.

Comme, dans tous les cas, la tangente en M est extérieure à la courbe, en voit que dans l’ellipse la tangente est en dehors de l’angle FMF' des deux rayons vecteurs, tandis que dans l’hyperbole la tangente est extérieure à l’angle formé par l’un des rayons vecteurs et par le prolongement de l’autre; en d’autres termes, la bissectrice de l’angle FMF' est dans l’ellipse la normale en M, et dans l’hyperbole la tangente au même point.

1158. La polaire d’un foyer prend le nom de directrice.

L’ellipse et l’hyperbole ont donc chacune deux directrices DHD, , D'H'D', [fig. 597), qui sont perpendiculaires à l’axe A'OA qui contient les foyers réels; elles sont situées de part et d’autre et à égale distance du centre, extérieurement à la courbe, puisque les foyers réels qui en sont les pôles sont intérieurs (1138). Les points A', F, A, II, formant un système harmonique, on a

ôT = of.oii,

d’où l’on déduit

pour la distance du centre aux directrices.