LIVRE VIII

LES COURUES USUELLES

De la définition même du foyer et de la directrice, il résulte que la polaire TT' cV un point quelconque I de la directrice DD, passe par le

Fig. 597.

foyer F et est perpendiculaire sur la droite qui joint le point î au foyer. Par suite , si Von prolonge une corde quelconque MN d'une ellipse ou d'une hyperbole jusqu'à sa rencontre en I avec la directrice , la droite IF et la polaire FT du point I sont les bissectrices des angles formés par les rayons vecteurs FM et FN ; car, d’après la définition même de la polaire, le faisceau (FI, FN, FT, FM) est harmonique, et nous venons de voir que les deux rayons FT et FI sont rectangulaires.

Dans l'ellipse et dans V hyperbole , le rapport des distances MF et MP d'un point quelconque M de la courbe au foyer F et à la directrice correspondante DD, est constant. Car, si N est un autre point quelconque de la courbe, et I le point où la corde MN rencontre la directrice, la droite FI est bissectrice de l’angle NFG ; on a donc

MF MI MP — = — ou — • NF NI NQ

Pour trouver la valeur constante du rapport rnr> il suffit de considérer

le point B; sa distance au foyer est égale à <7, et sa distance à la direc- . (C c

trice est Oïl = — : le quotient est - ; on le désigne habituellement par c,

et on lui donne le nom d’ excentricité ; il est moindre que un pour l’ellipse et plus grand que un pour l’hyperbole.

1159. Dans l'ellipse la somme, et dans l'hyperbole la différence des rayons vecteurs MF et MF', qui joignent un point quelconque M de la courbe aux deux foyers , est constante.

Car, des relations

MF c MF' c MP“«’ MP'"V

GÉOMÉTRIE DANS l/cSPACE.

on déduit (i)

MF -h MF' c MF — MF'

MP -h MP7 a MP -MP'

Or, dans l’ellipse, MP -4- MP' = UIP = 2^; donc, en vertu de la première des égalités (1),

Dans l’hyperbole, MP — MP' = I1IF = 2 — j donc, en vertu de la seconde des égalités (1),

On retombe ainsi sur les définitions élémentaires de ces courbes, et l’on peut dès lors regarder comme acquises les propriétés et les constructions établies aux §§ I, II, IV du Livre VIII.

1160. Considérons maintenant la parabole.

Le centre, qui est le point central de l’involution tracée sur l’axe ÀX (Jtg. 5cj3) par les pieds des divers couples de droites conjuguées rectangulaires, étant à l’infini, l’involutiona l’un de ces points doubles à l’infini, et l’autre point double est le foyer unique de la parabole. Il divise en deux parties égales (1114) le segment intercepté sur le grand axe par deux droites conjuguées rectangulaires quelconques, et en particulier par la tangente et la normale en un point quelconque de la parabole ; d’où l’on conclut (339) que la tangente et la normale en un point quelconque de la parabole sont les bissectrices des angles formés par la parallèle à V axe menée par ce point et le rayon vecteur mené de ce point au foyer,

La directrice ou polaire du foyer est perpendiculaire à l’axe, et extérieure à la courbe, puisque son pôle est intérieur comme doit l’être tout foyer réel (1133). Le foyer et la directrice sont d’ailleurs à égale distance du sommet (1138).

On voit, comme au numéro précédent, que : 1 0 la polaire d’un point quelconque de la directrice est perpendiculaire sur la droite qui joint ce point au foyer; i° la droite qui joint le foyer à l’intersection de la directrice et d’une corde quelconque de la parabole est la bissectrice du supplément de V angle formé par les rayons vecteurs des points ou la corde coupe la parabole .

On en déduit que le rapport des distances d’un point quelconque de la parabole au foyer et a la directrice est constant ; comme le sommet est équidistant du foyer et de la directrice, la constante est égale à un ; donc tout point de la parabole est équidistant du foyer et de la directrice. On