LIVRE VIII. — LES COURUES USUELLES

retombe ainsi sur la définition de la parabole donnée au n° 1027, et nous pouvons alors regarder comme acquises toutes les propriétés et toutes les constructions données dans les §§ III et Y. En particulier, le paramètre p représente la distance du foyer à la directrice; il est aussi égal à la sousnormale comptée sur l’axe, c'est-à-dire à la partie de l’axe comprise entre les pieds de l’ordonnée et de la normale. (Il importe de remarquer que, lorsque la parabole est rapportée à un diamètre quelconque et à la tangente correspondante, la sous-tangente est toujours double de l’abscisse, mais la sous-normale n’est plus constante et égale au paramètre; cette dernière propriété n'est vraie que dans le cas où la parabole est rapportée à son axe et à la tangente au sommet.)

1161. Lorsque plusieurs coniques ont les deux mêmes foyers, on dit qu’elles sont confocales .

Deux coniques confocales ont le même centre, et leurs axes sont dirigés suivant les mêmes droites; elles ont aussi les mêmes systèmes de droites conjuguées rectangulaires (1155).

Deux ellipses, deux hyperboles, une ellipse et une hyperbole peuvent être confocales ; mais une parabole ne peut être confocale que d’une parabole.

Si par un point, on mene ((eux tangences a une conique et (leux tangentes à une conique confocale, les angles des deux premières tangentes et les angles des deux autres ont les deux mêmes bissectrices.

Par un point P du plan d’une conique, on peut mener deux coniques confocales avec la première ; ce sont une ellipse et une hyperbole si la conique primitive est une ellipse ou une hyperbole; ce sont deux paraboles de sens opposés si la première conique est une parabole. — Ces deux coniques se coupent orthogonale ment , car leurs tangentes au point P sont les bissectrices des angles que forment les droites menées de ce point P aux deux foyers de la conique primitive.

1162. Les foyers jouissent de propriétés caractéristiques autres que celle qui nous a servi à les définir, et qui méritent d’être rapportées, nonseulement parce qu’elles sont très -utiles dans les recherches géométriques, mais encore parce qu’elles permettent de généraliser l’idée de foyer et d’étendre cette conception aux courbes d’ordre quelconque.

i° Considérons une conique quelconque C, intersection d’un cône de révolution par un plan P et une sphère inscrite dans ce cône. Soient Q le plan du cercle de contact de la sphère et du cône, y le cercle intersection de la sphère et du plan P, et D la droite commune aux plans P et Q. — D’abord, il est aisé de voir que le cercle y passe par les points I et P (réels ou imaginaires) où la droite D rencontre la conique C; en effet, les points I et l'appartiennent d’une part au plan P, et, d’autre

GÉOMÉTRIE DANS ^ESPACE

part, à la sphère, puisque, faisant partie à la fois du cône et du plan Q, ils sont sur le cercle de contact du cône et de la sphère. -- En second lieu, la conique C et le cercle 7 se touchent en I et en I'; en effet, la tangente en I à la conique est l'intersection du plan P et du plan tangent au cône ; la tangente au cercle 7 est l’intersection du plan P et du plan langent en I à la sphère; or, le point 1 étant sur le cercle de contact du cône et de la sphère, les deux plans tangents en question coïncident.

En résumé, le cercle 7 a un double contact (réel ou imaginaire) avec la conique C, et la droite des contacts est la droite D. — Faisons maintenant varier la sphère inscrite jusqu’à ce qu’elle touche le plan P; le rayon du cercle deviendra nul, ce cercle se réduira à un point qui est (1086) un foyer, et la droite D deviendra la directrice relative à ce foyer. O11 est ainsi conduit à regarder le forer d'une conique comme un cercle de rayon nul doublement tangent à la conique ; la corde des contacts est la directrice relative à ce joyer.

i° On sait (1111 ) que, si l’on a dans un même plan des angles d’une même grandeur et placés d’une manière quelconque, pourvu qu’ils soient formés dans le même sens de rotation, leurs côtés tracent sur la droite à l’infini deux divisions homographiques dont les points doubles sont, quelle que soit la grandeur commune de ces angles, les points cycliques du plan. Si les angles sont droits, les deux divisions homographiques forment une involution; donc, les points cycliques d’un plan divisent harmoniquement le segment intercepté sur la droite a l'infini par un angle droit situé d'une manière quelconque dans ce plan.

Cela posé, considérons plusieurs couples de droites conjuguées issues d’un même point du plan d’une conique ; ces divers couples forment (1138) un faisceau involutif dont les rayons doubles sont les tangentes réelles ou imaginaires menées à la conique par le point considéré. Si ce point est un foyer, tous les couples de droites conjuguées sont rectangulaires, et, par suite, d’après l’alinéa précédent, les rayons doubles du faisceau, c’est-à-dire les tangentes imaginaires menées à la conique par le foyer, passent par les points cycliques du plan. Ainsi, on peut considérer les joyers comme des points tels que les tangentes 11 la conique menées par ces points passent par les points cycliques du plan.

Des deux points cycliques on peut mener à la conique deux couples de tangentes, dont l'ensemble forme un quadrilatère imaginaire circonscrit à la courbe; les deux diagonales de ce quadrilatère sont les axes, et ses quatre sommets, dont deux réels et deux imaginaires, sont les foyers. La parabole étant tangente à la droite de l’infini, un foyer réel est à l’infini, les deux foyers imaginaires sont les points cycliques, et il ne reste plus qu’un foyer réel à distance finie.

11 résulte de là : i° que deux coniques qui ont un foyer commun ont