LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. /j3l

port a une conique auxiliaire est encore une conique. La démonstration du n° 1 163 s’applique sans modifications.

La méthode ainsi généralisée se prête avec la môme facilité à la transformation des propriétés descriptives; mais il'n’en est plus de même pour les propriétés métriques, et, quand il s’agit de transformer de telles propriétés, il convient de prendre un cercle auxiliaire.

La transformation par polaires réciproques, avons-nous dit au n° 349, laisse ignorer comment on pourrait démontrer directement les propositions que l’on découvre de la sorte. Ce reproche ne s’adresse qu’à la manière dont on applique ordinairement la méthode, en se bornant à transformer les énoncés ; mais, en réalité, comme l’a montré M. Mannheim ( Transformation des propriétés métriques, 1857), la méthode se prête à la transformation des démonstrations. Une démonstration n’est, en effet, qu’une chaîne de propositions qu’il suffit de transformer une à une pour avoir les anneaux successifs de la chaîne qui constitue la démonstration directe. C’est ainsi que nous avons procédé en définitive aux n°9 320 et 327, 328 et 329, etc.

1108. Deux courbes polaires réciproques sont telles, que chacune d’elles est coupée par une droite quelconque en autant de points (réels ou imaginaires) qu’on peut mener de tangentes (réelles ou imaginaires) à l’autre par un point donné quelconque. O11 nomme classe d’une courbe algébrique le nombre des tangentes réelles ou imaginaires qu’on peut mener à cette courbe d’un point quelconque. D’après cela, on peut énoncer la propriété précédente de cette manière plus concise : Quand deux courbes sont polaires réciproques , l’ordre de V une est égal à la classe de l’autre.

Les coniques sont des courbes de la seconde classe, et, inversement, toute courbe de la seconde classe est une conique.

D’après la définition que nous avons donnée au n° 1162 des foyers des courbesplanesd’ordrequelconque, on voit qu 'une courbe de la classe n possède ri1 foyers, puisque l’on peut mener à cette courbe n tangentes de chacun des deux points cycliques, et que ces deux faisceaux de n droites ontrt2 points communs, dont n seulement sont réels ; ce sont ceux qui sont fournis par la rencontre de deux tangentes imaginaires conjuguées.

Si la courbe est tangente à la droite de l’infini, le point de contact à l’infini est un foyer réel, et il n’y a plus que n — 1 foyers réels à distance finie. Quant aux foyers imaginaires, il y en a ( // — 1 )2 — [n — 1 ), outre les deux points cycliques qui, par conséquent, tiennent lieu chacun de n — 1 foyers.

GÉOMÉTRIE DANS ^ESPACE