PROPRIÉTÉS DES POINTS ET DES DROITES IMAGINAIRES

1160. Nous avons expliqué (1044) comment un système de deux quantités réelles x et /, dites coordonnées, détermine la position d’un point du plan; ce point est dit réel. Par analogie, on dit que deux quantités imaginaires, x ' et/', c’est-à-dire deux quantités de la forme

(i) x' — a h- bi , y' = a' -t- U /,

où a, b, a1 , b', désignent des nombres réels et i le symbole \J — !, déterminent un point imaginaire dont elles sont les coordonnées. Deux points sont appelés imaginaires conjugués lorsque leurs coordonnées sont respectivement imaginaires conjuguées; ainsi le point imaginaire conjugué de celui que déterminent les valeurs (i) a pour coordonnées

(2 ) x\ — a — bi1 y\ — a' — b'i.

Nous avons vu ( 1134) qu’une équation du premier degré

(3) Aæ+B/+C = o,

dont les coefficients A, B, C, sont réels, représente une ligne droite, ce qui veut dire que le lieu des points réels dont les coordonnées satisfont à cette équation est une ligne droite. Par analogie, on nomme droite imaginaire l’ensemble des systèmes de valeurs imaginaires de x et de / qui satisfont à une équation du premier degré à coefficients imaginaires

Deux droites sont appelées imaginaires conjuguées lorsque les coefficients de leurs équations sont respectivement imaginaires conjugués; ainsi, la droite imaginaire conjuguée de celle qui a pour équation (4) est représentée par l’équation

De ces définitions, résultent les conséquences suivantes : i° Toute droite réelle contient ( outre une infinité de points réels) une infinité de points imaginaires ; car, pour toute valeur imaginaire attribuée à l’équation(3) donne une valeur imaginaire correspondante de /.

2° Une droite réelle qui contient un point imaginaire contient aussi son conjugué; car, si l’on exprime que les valeurs (i) ou les valeurs (a) satisfont à l’équation (3), on trouve dans les deux cas les deux mêmes conditions

Art + B^+C = o, Âa'-h Bb'= o.

LES COURBES USUELLES