LIVRE VIII

Réciproquement, la droite qui contient deux points imaginaires conjugues est réelle; en effet, l’équation

représente la droite qui passe par les points réels ou imaginaires dont les coordonnées sontx' et y, x" et ", attendu que cette équation est du premier degré et qu’elle est satisfaite soit par x = x' et y = y\ soit par x = x"ely=y". Or, si les deux points sont imaginaires conjugués, c’està-dire six' et /, x" et y" ont respectivement les valeurs (1) et (2),lasub~ stitution de ces valeurs réduit l’équation à la suivante :

b' x — b y — a b' — ba\ qui a ses coefficients réels.

3° Toute droite imaginaire contient un point réel et un seul, qui appartient aussi a sa conjuguée ; car, pour qu’un couple de valeurs réelles de.r et dey satisfasse à l’équation (4) ou à l’équation (5), il faut et il suffit que ces valeurs vérifient le système

Or ces équations, étant du premier degré, donnent pour x et j un couple unique de valeurs réelles; l’une des coordonnées ou les deux peuvent être infinies; on dit alors que le point est à l’infini. Mais le système ne peut être indéterminé, car on voit immédiatement que, si les équations (6) avaient leurs coefficients proportionnels, la droite (4) serait réelle.

4° Les coordonnées du milieu de la droite qui joint deux points réels [x\y), {x ", j"), ont pour expression

(7) z= ~(x' ri= \ (/'+/')•

Par analogie, quand les points ( x\y '), (x"}y"), sont imaginaires, on dit. encore que le point dont les coordonnées £ et n sont exprimées par ces formules (7) est le milieu de la droite qui joint les deux poinls. On voit immédiatement, par la substitution des valeurs (1) et (2), que le point milieu est réel si les deux points considérés sont imaginaires conjugués ; il serait imaginaire si les deux points étaient imaginaires non conjugués.

5° L’intersection de deux droites réelles est le point réel dont les coordonnées sont les valeurs de x et de y fournies par la résolution des équation? des deux droites. L'intersection de deux droites imaginaires conjuguées est aus^i un point réel; car le système de leurs équations (4) et (5) peut, par addition et soustraction, être remplacé par le système (G), qui esta coefficients réels. — Mais deux droites peuvent évidemment se couper R. et de C. — Tr. de Géoni. (IIe Partie). 28

GÉOMÉTRIE DANS l/ESPACE.

en un point réel sans être réelles ou imaginaires conjuguées; par exemple, les deux droites imaginaires non conjuguées y = (a-t- (3/) x, y— (7 -1- c U)x passent l’une et l’autre par l’origine.

Telles sont les notions fondamentales sur lesquelles repose l’introduction des imaginaires en Géométrie. 11 serait vain de vouloir le déguiser : c’est l’Analyse qui fournit ces principes; puis, la Géométrie s’en empare et en développe les conséquences avec les moyens qui lui sont propres, comme nous allons le voir dans l’étude de la question suivante.