CORDES ET TANGENTES COMMUNES A DEUX CONIQUES

1170. Deux coniques quelconques, situées dans un même plan, ont :

i° Quatre points communs réels ou imaginaires conjugués ;

ï° Trois systèmes de deux cordes communes , dont l’un au moins est réel.

En effet :

ï° En éliminant y1 entre les équations du second degré qui représentent les deux coniques, on obtient une équation où / ne figure qu’au premier degré et que nous désignerons par (y) ; puis, en substituant cette valeur de y dans l’une des deux équations primitives, on trouve une équation du quatrième degré en x, que nous désignerons par (x), et dont les racines sont les abscisses des points communs aux deux courbes. Si l’équation (x) a ses quatre racines réelles, l’équation (/) donne pour chacune de ces valeurs de x une valeur réelle de j; et, par suite, les deux coniques ont quatre points communs réels. — Si l’équation (x) a deux racines réelles et deux racines imaginaires (conjuguées), l’équation (y) donne pour y deux valeurs réelles et deux valeurs imaginaires (conjuguées) ; et, par suite, les deux coniques ont deux points communs réels et deux points communs imaginaires ( conjugués ). — Enfin, si l’équation (x) a ses quatre racines imaginaires (conjuguées deuxàdeux), l’équation (/) donne pour/ quatre valeurs imaginaires (conjuguées deux à deux); et, par suite, les deux coniques ont quatre points communs imaginaires ( conjugués deux à deux).

2° Si les deux coniques ont quatre points communs réels a , b, c, cl (fi g. 601), les trois couples ab et cd, ac et bd , ad et bc , de cordes communes sont évidemment réels.

Si les deux coniques ont deux points communs réels a et b , et deux points communs imaginaires conjugués c et cl , la corde commune ab est évidemment réelle ; ccl l’est aussi, puisqu’elle unit deux points imaginaires conjugués. Les autres cordes communes ac et bd , ad et bc sont imaginaires ; car, si la droite ac, par exemple, était réelle, le point d’intersection des deux droites réelles ac et cd serait réel. — Il convient d’observer que les