LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES

deux droites imaginaires d’un même couple ac et bd ou ad et bc ne sont pas conjuguées ; car, si ne et bd l’étaient, leur point d’intersection p’ serait réel, et chacune de ces droites, ayant deux points réels a et p' ou b et p\ serait réelle. La conjuguée de ne est évidemment ad, et celle de bd est bc.

Si les deux coniques ont quatre points communs imaginaires conjugués deux a deux a et b, c et d, les cordes communes ab et cd sont réelles , puisque chacune aura deux points imaginaires conjugués ; les autres cordes communes ac et bd, ad et bc, sont imaginaires ; car si, par exemple, ac était réelle, les points « et c où elle coupe respectivement les droites réelles et cd seraient réels. Ici, les droites imaginaires d’un même couple, ac et bd ou ad et bc, sont conjuguées; car on passe, par exemple, de ac à bd en remplaçant a par son conjugué b et c par son conjugué d.

En transformant la proposition précédente par la méthode des polaires réciproques et donnant le nom d'ombilic à tout point d’intersection de deux tangentes communes, on voit que :

Deux coniques ont ;

i° Quatre tangentes communes réelles ou imaginaires conjuguées ;

2° Trois systèmes de deux ombilics, l’un au moins de ces systèmes étant réel.

Si les quatre tangentes communes a., [3, y, S, sont réelles , les trois couples

Fig. 6oi.

d’ombilics sont réels [jig. 6oi). En désignant le point commun â deux

GÉOMÉTRIE DANS ^ESPACE

droites L et L' par la notation (L, L'), le premier couple est formé par A ou (a, p) et A, ou (7, â)f le second couple par B ou (a, 7) et B, ou (p, <?), le troisième par C ou (a, £) et C, ou (p, 7).

Si le quadrilatère circonscrit a deux côtés l'éels a et p et deux imaginaires conjugués 7 et ou encore si le quadrilatère a ses côtés imaginaires conjugués deux à deux a et p, 7 et â, il n'y a qu’un couple d’ombilics réels ; c’est le couple A ou (a, p) et A, ou (7, S).

1171. On nomme pôle double tout point du plan de deux coniques qui a la môme polaire par rapport à ces deux courbes (fig. 601).

Soient p le point commun aux cordes ab et cd , p le point d’intersection de ac et de bd , et p" le point de rencontre de ad et bc. Chacun des sommets du triangle pp' p" est évidemment le pôle du côté opposé par rapport aux deux coniques. Ainsi, tout point d’intersection de deux cordes communes est un pôle double (ou un point commun aux deux coniques b Réciproquement, tout pôle double est V intersection de deux cordes communes ; en effet, soit pi un pôle double, et a, a' les points où p{a rencontre pour la seconde fois chacune des coniques; le point p{ devant avoir le même conjugué harmonique par rapport aux deux segments aa et axj il faut que a et a' coïncident, c’est-à-dire se confondent avec l’un des points b , c, cl, avec c par exemple; ainsi le point j\ est sur ac\ on verrait de même qu’il est sur bd ; il est donc à la rencontre de deux cordes communes.

Les trois seuls pôles doubles sont donc les sommets du triangle ppp". Ils sont évidemment réels tous les trois, si les quatre points a , b, c, cl, communs aux deux coniques sont tous les quatre réels. Ils le sont aussi quand les points a , b, c, cl , sont tous imaginaires, car, alors, les deux cordes d’un même couple sont réelles ou imaginaires conjuguées. Mais, si les j oints a et b sont réels , et c et cl imaginaires conjugués, le j)ôle double j) est le seul réel; il est réel parce qu'il appartient aux deux cordes réelles ab et cd ; et // et //sont imaginaires, car, si //, par exemple, était réel, la droite ap ou ac serait réelle. Observons enfin que chacun des pôles doubles est le centre d’un faisceau harmonique formé par les deux côtés du triangle et les deux cordes communes qui passent par ce point.

On nomme polaire double toute droite qui a le même pôle par rapport aux deux coniques. Toute polaire double est la polaire d’un pôle double, et réciproquement ; il n’y a donc que trois polaires doubles, dont une toujours réelle : ce sont les côtés du triangle pp'p'j auquel on donne le nom de triangle autopolaire commun aux deux coniques.

Les trois diagonales P, P', P7, du quadrilatère complet formé par les quatre tangentes communes a, (3, 7, â, aux deux coniques, sont réelles si les quatre droites a, (3, 7, §, sont toutes réelles ou toutes imaginaires