LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES

(conjuguées). Si deux de ces tangentes a et (3 sont réelles, et les deux autres y et S imaginaires conjuguées, la diagonale P est seule réelle.

Ces diagonales P, P', P", sont évidemment des polaires doubles; elles ne diffèrent donc pas des côtés du triangle pp'p". En outre, il résulte immédiatement de la construction de la polaire d’un point par rapport à deux droitesque les deux ombilics et les deux pôles doubles situéssur unmême côté du triangle autopolaire pp’p forment un système harmonique.

En résumé :

Si le triangle auto polaire pp'p" est entièrement réel, les deux coniques ont :

Soit quatre points communs réels et quatre tangentes communes réelles ;

Soit quatre points communs imaginaires et quatre tangentes communes imaginaires ;

Soit quatre points communs réels et quatre tangentes communes imaginaires ;

Soit quatre points communs imaginaires et quatre tangentes commîmes réelles ;

Et si le triangle autopolaire n’a de réels qu’un sommet p et le côté opposé P, les deux coniques ont :

Deux points communs réels et deux points communs imaginaires, et en meme temps deux tangentes communes réelles et deux tangentes communes imaginaires.

Dans le troisième cas, l’une des coniques au moins est hyperbolique.

1172. Si deux points pris sur une corde commune sont conjugués par rapport à l’une des coniques, ils le sont aussi par rapport a l’autre. Car, puisqu’ils sont conjugués par rapport à la première conique, ils divisent harmoniquement la corde commune, et, par suite, ils sont conjugués par rapport à la seconde conique.

Réciproquement, si, sur une droite située dans le plan de deux coniques, il existe deux couples de points a et a' , b et //, tels que les deux points d’un même couple soient conjugués à la j ois par rapport aux deux coniques, cette droite est une corde commune aux deux coniques. Car les points de chacune des deux coniques situées sur la droite sont les deux points réels ou imaginaires qui divisent harmoniquement le segment aa' et le segment bb'.

Les propositions corrélatives s’énoncent de la manière suivante :

Si deux droites issues d’un ombilic sont conjuguées par rapport à l’une des coniques, elles le sont aussi par rapport a Vautre.

Si par un j)oi/it du plan de deux coniques passent deux couples de droites A et A', B et B', situées dans ce plan et telles que les deux droites de chaque couple soient conjuguées par rapport aux deux coniques, ce point est un ombilic

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE