CONIQUES CIRCONSCRITES OU INSCRITES A UN QUADRILATÈRE

1173. Quand plusieurs coniques ont quatre points communs ( réels ou imaginaires ), il existe sur une droite quelconque de leur plan deux points conjugués par rapport à toutes ces coniques. Car les segments interceptés sur la droite par les diverses coniques forment une involution (1172); les points doubles (réels ou imaginaires) de cette involution divisent harmoniquement chacun de ces segments et, par suite, sont conjugués par rapport à chacune des coniques.

Dans le cas particulier où la droite est à l’infini, on a ce théorème : Toutes les coniques passant par quatre points donnés ont un système [réel ou imaginaire) de diamètres conjugués, parallèles entre eux.

Le théorème corrélatif sur les coniques tangentes à quatre droites s’énonce : Quand plusieurs coniques sont inscrites dans un meme quadrilatère [réel ou imaginaire ), il passe par chaque point de leur plan deux droites [réelles ou imaginaires) qui sont conjuguées par l'apport à toutes ces coniques.

1174. Quand plusieurs coniques ont quatre points communs ( réels ou imaginaires ) , les polaires d’un point fixe quelconque P de leur plan par rapport à ces courbes passent par un même point (Lamé, Examen des différentes méthodes ...; 1 8 1 8 ) .

Soit P' le point commun aux polaires de P par rapport à deux A et B des coniques considérées; les points P et P' sont conjugués par rapport à A et B et, par suite, d’après le théorème précédent, par rapport à toute conique C du groupe; donc le point P' est sur la polaire de P par rapport à la conique C.

Dans le cas particulier où le point P est à l’infini, on a cette proposition : Quand plusieurs coniques passent par quatre points donnés, les diamètres de ces courbes, conjugués à une même direction, passent par un même point.

Les théorèmes corrélatifs s’énoncent :

Quand plusieurs coniques sont inscrites dans un même quadrilatère, les pôles d’une droite quelconque de leur plan par rapport a ces courbes sont en ligne droite.

Le lieu des centres des coniques inscrites dans un quadrilatère est une droite passant par les milieux des diagonales (Newton).

4175. Les bissectrices de tout système de deux cordes communes à un cercle et à une conique sont parallèles aux axes de la conique.

En effet, si par le point commun aux deux cordes C et C' on mène des parallèles L et L' aux axes delà conique, les droites L et L' sont évidemment parallèles au système des diamètres conjugués qui sont communs en