LIVRE Y III

LES COURBES USUELLES

direction au cercle et à la conique (1146); ces deux droites rencontrent donc la droite à l’infini en deux points conjugués à la fois par rapport aux deux courbes, et par suite aussi conjugués par rapport aux cordes communes C et G'; donc L et L' sont conjuguées harmoniques par rapport à C et à C', et, comme elles sont rectangulaires, elles divisent en deux parties égales les angles formés par ces cordes.

Il résulte de là que, pour que deux coniques se coupent en quatre points situés sur un meme cercle , il faut et il suffit que leiws axes soient parallèles ou perpendiculaires.

Lorsque trois des quatre points communs à un cercle et à une conique se réunissent en un seul M, on dit que le cercle est oscillateur de la conique au point M. La tangente en M et la corde MN qui joint le point de contact M au point de section N des deux courbes sont alors, d’après le théorème précédent, également inclinées sur un quelconque des axes de la conique. Cette propriété permet de déterminer le point N et, par suite, le cercle osculateur en un point donné M d’une conique.

On calcule aisément le rayon de ce cercle à l’aide d’un théorème élégant dû à Mac-Cullagh, Dublin, 1 836 : Le rayon R du cercle qui passe par trois points M, N, P, cl'une ellipse est égal au produit des demi-diamètres /;?, /?, p, parallèles aux côtés du triangle formé par ces trois points, divisé par le produit ab des demi-axes. En effet, en divisant l’égalité (428)