LIVRE II. — LA. CIRCONFÉRENCE DE CERCLE

En efïet, les deux triangles rectangles OBA. O B' A sont égaux comme ayant l’hypoténuse AO commune et les côtés de l’angle droit OB et OB' égaux entre eux comme rayons du cercle donné. On a donc

AB — AB', angle BAO — angle B'AO, angle BOA = angle B' OA.

ScOLlE.

159. Pour mener à un cercle une tangente parallèle à une droite donnée, on mène le diamètre perpendiculaire à la droite donnée, et les extrémités de ce diamètre sont les points de contact des deux tangentes qui satisfont à la question.

PROBLÈME

1G0. Inscrire un cercle dans un triangle donné ABC.

On dit qu’un polygone est circonscrit à un cercle lorsque chacun de ses côtés est tangent à la circonférence; le cercle est alors inscrit dans le polygone.

Cela posé, soit ABC ( fi g . 117) le triangle proposé dans lequel il faut inscrire un cercle. Supposons le problème résolu. La droite AO, qui joint le centre du cercle cherché au point de rencontre A des deux tangentes AD et AE, est, d’après le problème précédent, la bissectrice de l’angle À du triangle. On voit de même que le point O doit encore se trouver sur les bissectrices BO, CO, des angles B et C. D’après cela, on mènera deux de ces bissectrices, et de leur intersection O comme

Fig. 117.

centre, avec une ouverture de compas égale à la longueur commune des perpendiculaires OD, OE, OF, abaissées de ce point sur les côtés,, on décrira une circonférence qui touchera en D, E, F, les côtés du triangle donné.

SCOLIE

161. Il résulte de cette démonstration que les bissectrices des trois angles d’un triangle concourent en un même point. On voit d’une manière analogue que les bissectrices des angles extérieurs d’un triangle ABC {fig. t 1 8 ) forment un second

Fig. ix8.

triangle O'O'O'" dont les sommets sont situés sur les bissectrices des angles intérieurs. Chacun de ces sommets est le centre d’un cercle exinscrit, c’est-à-dire d’un cercle tangent à l’un des côtés du triangle et aux prolongements des deux autres côtés. Il existe donc, en général, quatre circonférences tangentes à trois droites données.

Si l’on désigne par a, b, c les côtés BC, CA, AB du triangle ABC, et par p le demi-périmètre de ce triangle, on aura, pour les distances du sommet A aux points où la droite AB touche les quatre cercles :

AM =p, AD —p — a, AI —p — b , AK— p — c.

En effet, l’égalité

ip = AB + BH -f- IIC -t- CA = AB + BM + CN -h CA = AM -h AN = 2 AM

donne d’abord

AM = p .