R M'N'P' NP PM MN « “ MNP NT' P M' M'N

mais le premier rapport du second membre est égal à ^ (706, 1056) et

les autres sont égaux respectivement à — ? ^ puisque deux droites

parallèles sont entre elles comme leurs projections. La relation précédente se réduit donc à

ma p

~fb">

Si les points N et P se réunissent en M, les quantités m, /?, p , deviennent égales au demi-diamètre £ parallèle à la tangente en M, et l’on

a pour le rayon du cercle osculateur en M l’expression ou encore, en

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

vertu du second théorème d’Apollonius, l’expression — > dans laquelle

p désigne la distance du centre de l’ellipse à la tangente au point M.

Cette expression se réduit à — ou à quand le point considéré est l’extrémité du grand axe ou du petit axe.

CONIQUES TANGENTES, BITANGENTES, O SCU L AT R I C E S.

1176. Coniques tangentes. — Quand deux coniques se touchent en un point <7, ce point est la réunion de deux points communs a et ô, et il ne reste plus que deux autres points communs c et cl , qui sont réels ou imaginaires conjugués.

La tangente en a et la droite ccl forment un couple de cordes communes; ce couple est réel. Quant aux deux autres couples, ils se confondent en un seul ac et ad, qui est réel si c et d sont réels et imaginaire si cet d sont imaginaires.

Outre la tangente en a , il n’y a plus que deux tangentes communes réelles ou imaginaires ; leur point d’intersection et le point a forment un système d’ombilics réels, et il n’y a plus qu’un autre couple d’ombilics : ce sont les points réels ou imaginaires où la tangente en a rencontre les deux autres tangentes communes.

Coniques bitangentes. — On dit que deux coniques sont bitangcntes ou ont un double contact lorsqu’elles se touchent en deux points ; nous désignerons ces deux points par g et h, et le point d'intersection des tangentes en g et h par k.

Il n’y a plus encore ici que deux systèmes de cordes communes; le premier est formé par les tangentes /;get kh , et le second par la droite double ou corde de contact gh. Les points g et h forment un couple d’ombilics, et le point h forme à lui seul le second couple.

Quant à la réalité, il faut distinguer deux cas, suivant que le double contact des deux coniques est réel ou imaginaire, c’est-à-dire suivant que les points g et h sont réels ou imaginaires conjugués. Dans le premier cas, les cordes communes et les ombilics que nous venons d’énumérer sont tous réels. Dans le second cas, la corde de contact gh forme le seul couple de cordes communes réelles et son pôle /> forme le seul couple d’ombilics réels.

Quand deux coniques ont un double contact :

i° Les polaires cl’un point quelconque M de leur plan se coupent sur la corde de contact; car elles doivent se couper (1174) sur la polaire de M par rapport aux systèmes des deux cordes communes confondues avec la corde de contact, polaire qui coïncide avec cette dernière corde.