LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES

2,° Les pôles (Lune droite quelconque A sont en ligne droite avec le pôle de la corde de contact qu’on nomme pôle de contact ; c’est la proposition corrélative de la précédente.

3° Tout point /»• de la corde de contact est un pôle double , car, pour chacune des coniques, la polaire de /• contient le pôle de contact et le point h' conjugué harmonique de k par rapport aux deux points de contact. Nous trouvons ainsi un cas d’exception à la proposition : deux coniques n’ont, en général, que trois pôles doubles.

Coniques osculatrices. — On dit que deux coniques sont osculatrices ou qu’elles ont un contact du second ordre lorsque trois de leurs points communs sont réunis en un seul que nous appellerons w. Elles ont alors un quatrième point d’intersection d qui est toujours réel, et, outre la tangente en «, une tangente commune réelle d; soit t le point où la tangente en w rencontre la tangente d.

Il n’y a qu’un système de cordes communes; il est réel et formé par la tangente w/ et par la corde wrf. Il n’y a aussi qu’un couple d ombilics : ce sont les points réels w et t.

On dit que deux coniques ont un contact du troisième ordre , lorsque leurs quatre points communs sont réunis en un seul w. Les quatre tangentes communes sont alors confondues en une seule qui est la tangente ut au point w. Cette même droite ut est la seule corde commune et le point w le seul ombilic.

CONIQUES IIOMOLOGIQUES .

1177. La figure homologique d’un cercle, lorsqu’on prend le centre du cercle pour centre d’homologie, est une conique qui a ce centre pour foyer; car si, dans l’avant-dernière formule du n° 730, O m' est constant,

il en est de même du rapport par suite, le rapport des distances

d’un point quelconque m de la figure cherchée au point fixe O et à la droite fixe I est constant.

Par suite, une conique étant donnée, on voit qu’il faut placer le centre d’homologie O à l’un des foyers pour que la figure homologique soit un cercle de centre O.

C’est cette propriété que M. Chasles prend pour définition des foyers dans son Traité des Sections coniques. La marche que nous avons suivie (nos 1153 et suivants) est à la fois plus directe et plus simple.

1 178. La figure homologique d’une conique C est une conique Ch En effet, P et Q étant deux points fixes pris arbitrairement sur la conique donnée C, et m un point variable de cette conique, les droites

GÉOMÉTRIE DANS i/eSPACE.

P/w, Qm, engendrent deux faisceaux homographiques (1130). Or, si P', Q', m\ sont les homologues de P, Q, /??, le faisceau engendré par P 'ni' tournant autour du point fixe P' sera homographique du faisceau engendré par P/;; (731); de même, le faisceau décrit par Q'm1 sera homographique du faisceau décrit par Qm. Donc les faisceaux engendrés par V né et Q' ni' sont homographiques, et (1131) le lieu du point né est une conique. — A un point p et à sa polaire L relatifs à la première conique G, répondent dans la seconde conique un point p' et sa polaire L'. Car aux quatre points harmoniques /;>, a , cp b , situés sur une transversale issue du point p , et qui coupe la conique G en a et b et la polaire L en

répondent quatre points//, a', q' , b\ qui sont aussi harmoniques (731). On voit par là qu’à deux points ou à deux droites conjuguées relativement à la conique C répondent deux points ou deux droites conjuguées relativement a la conique C'. — L'axe d'homologie XX' est une corde commune aux deux coniques C et C'. En effet, les points communs à la conique C et à l’axe XX' sont les points doublas des deux divisions homographiques tracées sur XX' par les faisceaux générateurs Pw et Qm de cette conique. De même, les points communs à la conique C' et à XX' sont les points doubles des deux divisions tracées sur XX' par les faisceaux P m' et Q'//?' ; mais les rayons homologues des faisceaux P et P: se coupent sur l’axe XX', aussi bien que les rayons homologues des faisceaux Q et Q'. Donc les points doubles sont les mêmes pour les deux divisions. — Enfin on voit, soit par un raisonnement corrélatif du précédent, soit en appliquant à la propriété précédente la transformation par polaires réciproques, que le centre cl homologie S est un ombilic des deux coniques.

Réciproquement, deux coniques quelconques C et C' sont deux figures homologiques dans lesquelles l ’ axe d'homologie est une corde commune et le centre cl'homologie un ombilic correspondant à cette corde. Considérons le triangle/?////, dont chaque sommet est le pôle du côté opposé par rapport aux deux coniques [flg. 6oi) ; par chaque sommet passent deux cordes communes, et sur chaque côté sont situés deux ombilics ; nous appelons ombilics correspondant a une corde commune les deux ombilics placés sur le côté du triangle pp'p" opposé au sommet qui est situé sur la corde commune considérée. Cela étant, soient XX' une corde commune aux deux coniques proposées, qui les coupe eneetf et S l’un des deux ombilics correspondants ; a étant un point quelconque de la conique C, la droite rencontre la conique C' en deux points : désignons par a' celui de ces deux points qui, lorsque la sécante Sa tourne autour de S, vient se réunir avec a au point e. Si, en prenant S pour centre d’homologie, XX' pour axe et («,«') pour un couple de points homologues, on construit la figure homologique de C, on trouve une