LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES

conique C, qui, ayant en commun avec la conique G' les points a', e , /, et les deux tangentes issues de S, ne diffère pas de la conique G'. Donc C et C' sont homologiques.

Il faut cependant, d’après la démonstration même, que les deux coniques soient placées de telle façon, que toute transversale issue de l’ombilic S rencontre les deux courbes en des points qui soient à la fois réels ou à la fois imaginaires pour les deux coniques.

De plus, comme il peut y avoir six cordes communes, et qu’à chacune d’elles répondent deux ombilics, on voit que deux coniques peuvent étr^e homologiques de douze manières différentes .

Parmi les nombreux corollaires de cette réciproque, nous citerons les deux suivants :

Lorsque deux coniques se touchent en un point A et se coupent en deux autres points B et C réels ou imaginaires, le point A est un centre d’homologie, et la corde commune BC, qui est toujours réelle, est l’axe d’homologie correspondant.

Lorsque deux coniques ont un foyer commun, le foyer est un centre d’homologie, puisqu’il est le point de concours de deux tangentes communes imaginaires (1162).

1179. Voici quelques applications de la théorie de l’homologie aux coniques :

i° Considérons une conique C et un cercle C' ayant un foyer F de la conique pour centre. Ces deux courbes sont homologiques, et F est le centre d’homologie. Si un angle de grandeur constante tourne autour de F comme sommet, la corde qu’il intercepte dans le cercle enveloppe un cercle concentrique au premier ; donc la corde interceptée dansla conique enveloppe une seconde conique C". D’ailleurs, deux cercles concentriques ont un double contact sur la droite de l’infini; donc, les coniques G et C"ont un double contact (imaginaire) sur la directrice correspondant au foyer F, attendu que cette directrice, étant la polaire du foyer, correspond à la droite de l’infini dans le cercle, laquelle est la polaire du centre. Ainsi, loz-squ'un angle de grandeur constante tourne autour du foyer d’une conique comme sommet, la corde qu’il intercepte dans la conique enveloppe une nouvelle conique doublement tangente ci la proposée sur la directrice relative au foyer considéré.

i° Soient une conique C et un cercle G' tangent en S à cette conique. Ces deux courbes sont homologiques, et S est le centre d’homologie. Si un angle de grandeur constante tourne autour de S comme sommet, la corde interceptée dans le cercle enveloppe un cercle concentrique. Donc, la corde interceptée dans la conique enveloppe une seconde conique C" doublement tangente à la première, suivant la parallèle à l’axe d’homologie qui

GÉOMÉTRIE DANS l'eSI’ACE.

répond à l’infini du cercle. Ainsi, lorsqu’un angle de grandeur constante tourne autour d’un point d'une conique comme sommet, la corde interceptée dans la conique enveloppe une autre conique qui a un double contact avec la première.

En particulier, si l’angle est droit, la corde interceptée dans le cercle passe par le centre de ce cercle, c’est-à-dire par un point fixe situé sur la normale commune aux courbes C et G au point S. Donc, quand un angle droit pivote autour d’un point S d’une conique comme sommet, la corde interceptée dans la conique passe par un point fixe situé sur la normale en S à la conique. C’est le théorème de Frégier, que nous avons démontré déjà directement au n° 1139.

3° La transformation homologique permet de ramener les questions graphiques relatives aux coniques à de simples questions du môme genre relatives au cercle. Tout consiste à tracer dans le plan de la conique un cercle et à déterminer, d’après les conditions qui définissent la conique, le centre et l’axe d’homologie de la conique et du cercle. On aura alors tout ce qu’il faut pour résoudre, sans peine et à l’aide de la règle seule, les diverses questions graphiques relatives à la conique.

Supposons, par exemple, qu’on demande de déterminer le centre et les axes d’une conique donnée par quatre points O, <7, b , c, et par la tangente O t au point O.

On tracera un cercle quelconque tangent en O à la droite O/; ce cercle sera homologique de laconique par rapport au centre d’homologie O. En joignant le point O aux points <7, b , c, on aura, par les intersections des droites O a, O b, Oc, avec le cercle, les points a1 , b1, c\ homologues de c/, b , c. On se trouvera alors dans les conditions du n° 729 ( i°), et l’cn saura trouver le point de la figure F qui répond à un point pris à volonté dans la figure F', ce qui permettrait de tracer la conique par points. O11 déterminera (730) la droite limite J' de la figure F'; cette droite pourra rencontrer le cercle en deux points x',j-r, ou le toucher en un seul point z\ ou être extérieur à ce cercle.

Dans le premier cas, la conique aura deux points à l’infini, placés sur Ox1 etoy ; ce sera donc une hyperbole, dont on aura les asymptotes en cherchant les homologues des droites p'x',p'j', qui touchent le cercle aux points x' et y'.

Dans le deuxième cas, la conique n’aura qu’un point à l’infini situé sur Os'; ce sera une parabole dont l’axe, d’ailleurs parallèle à O z' , s’obtiendra en prenant la polaire du point situé à l’infini sur la direction perpendiculaire à O z'.

Dans le troisième cas, la conique n’ayant aucun point à l’infini sera une ellipse, dont on aura le centre en prenant l’homologue p du pôle // de J' par rapport au cercle.