AB

dont le rapport de similitude est —

Il résulte de là que toute conique passant par les deux points cycliques de son plan est un cercle, car, ayant la droite de l’infini pour corde commune avec un cercle quelconque de ce plan, elle est homothétique à ce cercle.

1181. Deux coniques homothétiques et concentriques ont un double contact sur la droite de l’infini. En effet, soient s et <p les points communs aux deux coniques et à la droite de l’infini. Les tangentes en s et <p à la première conique doivent passer par le pôle de sep, c’est-à-dire par le centre O de cette conique; de môme, les tangentes en s et <p à la deuxième conique doivent passer par O ; donc les deux coniques ont les mêmes tangentes en s et cp. Réciproquement, deux coniques qui ont un double contact sur la droite de l’infini sont homothétiques et concentriques ; car d’abord elles sont homothétiques, puisque la droite de l’infini est une corde commune, et, d’autre part, le centre de chacune d’elles doit être le pôle de la droite de l’infini, qui est le même pour les deux

446 GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

coniques, puisque c’est le point de concours des tangentes communes

en s et çp.

1182. Deux figures semblables ne diffèrent en définitive que par l’échelle à laquelle elles sont construites, de sorte qu’un simple changement d’échelle les rendrait égales. Donc, pour trouver les conditions de similitude de deux courbes de même espèce, il suffit de distinguer, d’après la définition des courbes de cette espèce, les données distinctes et indépendantes relatives à la forme des données relatives à la position. Par exemple, si la connaissance d’une seule grandeur suffit pour déterminer la forme d’une courbe d’une certaine espèce, toutes les courbes de cette espèce sont semblables, car un simple changement d’échelle permet de les faire coïncider. Ainsi tous les cercles sont semblables, toutes les paraboles sont semblables. Si la forme de la courbe dépend de plusieurs données distinctes et indépendantes, il faut que les données angulaires homologues soient égales et les données linéaires homologues proportionnelles ; car, le changement d’échelle ne permettant de rendre égaux que deux éléments linéaires homologues, l’égalité des autres éléments linéaires homologues doit résulter de celle des deux premiers. C’est ainsi que la similitude de deux ellipses ou de deux hyperboles consiste dans la proportionnalité de leurs axes.

Quand deux paraboles ont leurs axes parallèles, elles sont homothétiques ; elles touchent la droite de l'infini au même point : c’est le point situé sur leurs axes parallèles.