LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. 44j

cantes ; donc elle convient à une section conique quelconque, puisqu’une telle courbe peut toujours être projetée suivant un cercle.

Ce théorème, dû à Carnot ( Géométrie de position , p. 437), est la généralisation de celui de Ménélaüs (310). Il a de nombreuses conséquences. Par exemple, si le sommet B du triangle ABC est à l’infini, la relation précédente devient

Ab.Ab' Cb.Cbf Ac.Ac' Ca.Ca'

Or, si par un point quelconque D de la droite C ad on mène une parallèle à AC, qui rencontre la conique en e et <?', on aura de même

Dg.Dg' Cb.Cb'

d’où, en rapprochant les deux équations précédentes,

Ab. A b' Dg.Dg'

Ac.Ac' D«.D«'

Donc : Si dans le plan d’une conique on mène par un point quelconque A deux droites parallèles à deux axes fixes , le rapport des produits des segments [réels ou imaginaires ) (que la courbe détermine sur ces droites à partir de leur point commun A est constant. Ce théorème est dû à Newton ( Énumération des courbes du troisième ordre ) .

1184. Pour montrer toute la fécondité de cette méthode relativement à la recherche des propriétés des sections coniques, il faut établir quelques nouveaux principes.

i° On peut projeter une conique C de telle sorte qui une droite L de son plan passe à G infini, et qu’un point j de ce même plan se projette au foyer de la nouvelle conique C'. — Le point F doit, d’après cela, être à l’intérieur de la conique C. Par suite, l’involution déterminée sur la droite L par tous les couples de droites conjuguées issues du point F a ses points doubles imaginaires (1140 ), de sorte qu’il existe de part et d’autre de L deux points P et P' de chacun desquels on voit sous un angle droit les divers segments de l’involution. Plaçons le sommet S du cône sur la circonférence décrite, dans un plan perpendiculaire à celui de la conique C, sur PP' comme diamètre, et prenons pour plan de projection un plan parallèle à celui du sommet S et de la droite L. De cette façon, la droite L passera à l’infini dans la projection, et chaque couple de droites conjuguées issues du point j deviendra en projection un couple de droites rectangulaires et conjuguées par rapport à la conique C'. La projection du point /sera donc (1155) un foyer de cette nouvelle courbe C'. Ajoutons que cette conique G' sera une hyperbole, une ellipse ou une parabole,

GÉOMÉTRIE DANS /ESPACE

suivant que la droite L coupera la conique primitive C en deux points réels, imaginaires ou coïncidents.

Le pôle o de la droite L, par rapport à la conique C, deviendra en projection le centre de la conique C' (1112). On peut donc projeter une. conique C de manière que deux points f et o de son plan deviennent , en projection, l'un le foyer, l'autre le centre de la nouvelle conique C'.

En particulier, si / coïncide avec le pôle o de la droite L par rapport à la conique C, le même point sera en projection le centre et le foyer de la nouvelle conique C', qui dès lors sera un cercle. On peut donc picjete / une conique suivant un cercle de telle sorte qu’un point de son plan se projette au centre du cercle ou qu’une droite de son plan passe à l’infini.

i° On peut projeter deux coniques situées dans un meme plan suivant deux cercles. — Il faut évidemment que les deux coniques proposées aient au plus deux points communs réels ; il existe alors une corde commune réelle qui rencontre les deux coniques en deux points imaginaires (J 170, 2°). En projetant de telle sorte que l’une des coniques devienne un cercle et que cette corde commune passe à l’infini, l’autre conique donnera aussi un cercle, car les deux courbes ayant en projection une corde commune à l’infini seront homothétiques (1 180), et la figure homothétique d’un cercle est un cercle.

Si les deux coniques proposées ont un double contact imaginaire , on peut les projeter suivant deux cercles concentriques. Car, en projetant l’une des coniques suivant un cercle de telle sorte que la corde de contact passe à l’infini, l’autre conique donnera un cercle de même centre, puisque les deux courbes en projection ayant un double contact sur la droite de l’infini devront être homothétiques et concentriques.

Les deux droites qui joignent le foyer d’une conique aux points circulaires à l’infini sont tangentes à la conique (1162), et la corde de contai t est la polaire du foyer, c’est-à-dire la directrice. Donc, deux coniques qui ont meme foyer et meme directrice peuvent être projetées suivant deux cercles concentriques , attendu qu’elles ont un double contact imaginaire sur la directrice commune.

3° On peut projeter une conique C de telle sorte que deux points (intérieurs) de son plan,j et /', deviennent en projection les deux foyers de la nouvelle conique C'. — En effet, en désignant par a et a' les points où la droit e ff coupe la conique C, et par /. et k' les points qui divisent à la fois harmoniquement les segments net et ff, il suffit de projeter de telle sorte que /et /• deviennent l’un le foyer, l’autre le centre de la nouvelle conique C'. Alors la projection de/' sera évidemment l’autre foyer.

On peut projeter deux coniques situées dans un même plan suivant deux coniques confocales. — Ces deux coniques doivent avoir un seul couple d’ombilics réels, et ces deux ombilics doivent être intérieurs à