LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES

* i’une et à l’autre courbe. Cela étant, il suffit de projeter de manière que ces deux ombilics deviennent en projection les deux foyers de l’une des courbes; ils seront par cela même les deux foyers de l’autre ( 1161 ).

Voici des applications :

Dans tout quadrilatère inscrit à une conique , V intersection des deux diagonales est le pôle de la droite qui joint les points de concours des côtés opposés; les diagonales de ce quadrilatère et celles du quadrilatère dont les côtes sont les tangentes à la conique menées par les sommets du quadrilatère inscrit se coupent au meme point et forment un faisceau harmonique. Car, en projetant la conique suivant un cercle, de telle sorte que la droite qui joint les points de concours des côtés opposés du quadrilatère inscrit passe à l’infini, le théorème devient évident.

Quand deux coniques ont un double contact, toute corde de l’une qui est tangente a Vautre est divisée harmoniquement parle point de contact et }>ar le point où elle rencontre la corde de contact des deux coniques. Car, en projetant les deux coniques suivant deux cercles concentriques, on transforme cette proposition dans la suivante, qui est évidente : Toute corde cl’un cercle tangente à un cercle concentrique a son milieu au point de contact.

Si deux côtés d’un triangle inscrit à une conique passent chacun par un point fixe, le troisième côté enveloppe une conique qui a un double contact avec la première sur la droite qui joint les deux points fixes. Car, en projetant la conique suivant un cercle de telle sorte que les deux points fixes passent à l’infini, on retombe sur ce théorème : Si deux côtés d'un triangle inscrit dans un cercle sont parallèles a deux droites données, le troisième côté enveloppe un cercle concentrique, ce qui est évident, puisque l’angle au sommet du triangle est constant.

On voit immédiatement que le lieu des centres des cercles qui passent par un point fixe et qui touchent une droite fixe est une parabole dont le point fixe est le foyer. En transformant par projection ce théorème, et remarquant que le point fixe ou foyer et les deux points cycliques forment un triangle circonscrit à la parabole, on obtient la proposition suivante : Étant donnés un triangle et une droite , si Von conçoit toutes les coniques circonscrites à ce triangle et tangentes à cette droite, le lieu des points de concours des tangentes à deux des sommets du triangle est une conique inscrite dans ce triangle.

Nous avons démontré (1164) que le cercle circonscrit à tout triangle ■formé par trois tangentes à la parabole passe par le foyer : en remarquant que le foyer et les deux points cycliques forment un second triangle circonscrit à la parabole, et, transformant par projection, on arrive à ce théorème : Si deux triangles sont circonscrits à une conique, leurs six sommets sont situés sur une conique.

R. et dp. C. — Tr. de Géom (IIe Partie).

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

118-j. La solution générale du problème de la transformation des rela- » lions angulaires est due à M. Laguerre ( Nouvelles Annales , 1 853 ) . Elle repose sur le principe suivant :

Le rapport anharmonique

sinwog' > sin uoh sin vog ' sin voh

du faisceau formé par les côtés d’un angle uov — G et par les droites qui joignent son sommet aux points cycliques g et h du plan est égal à

En effet, m étant un point d’un cercle ayant o pour centre et R pour rayon, on a, en menant mp parallèle à oc jusqu’à sa rencontre avec ou,

— 2 — î , sin uom p/n

op -f- pm -h lop.pm cos 9 = R et - . - = — — >

siniw;/ op

d’où, en désignant par z ce rapport de sinus,

z1 — iz cos G -h i — — .

Or, si m est l’un des points g ou /*, op est infini, et l’on voit que le rapport anharmonique a bien la valeur énoncée, puisqu’il est égal au quotient des racines de l’équation

Z' — iz cosG -4-1 = 0.

Cela posé, soit uov = G un angle quelconque, UOV sa projection, G et H les projections des points cycliques g et h du plan uov ; en désignant par p et nommant rapport anharmonique relatif à l’angle UOV le rapport (i), dans lequel on remplace chaque lettre par la lettre majuscule correspondante, on a, en vertu de la projectivité du rapport anharmonique,

e20'/-1 = p, d’où G = — l^rlogp.

Telle est la relation entre un angle et sa projection. Donc enfin, à une relation quelconque

entre les angles G, , . . . , Qu d’une figure répond, entre les angles G', , . . . , Ca delà figure projection, la relation

loSP„

!ogpa,

où p,. désigne le rapport anharmonique relatif à l’angle Oj.

Remarquons que, dans le cas particulier de G = -j, on a p = c = — i; donc, à tout angle droit cl’une figure répond, dans la figure projection ,

LIVIU: VI! I.

LES COURBES USUELLES

un angle dont les côtés divisent harmoniquement les droites qui joignent le sommet aux projections des points cycliques.

Voici quelques applications :

Deux coniques confocales se coupent orthogonalement (1161).

Le lieu des angles droits circonscrits h une ellipse ou à une hyperbole est un cercle (990, 1021).

Le lieu des angles droits circonscrits à une parabole est la directrice (1048).

Si autour du centre d'un cercle comme sommet on f eut tourner un angle de grandeur constante , la corde rpi ’il intercepte dans le cercle enveloppe un cercle concentrique.

Si deux coniques sont inscrites dans le meme quadrilatère, les deux tangentes à Lun des points communs divisent harmoniquement une diagonale quelconque de ce quadrilatère.

Le lieu des angles circonscrits à une conique , dont les côtés divisent harmoniquement une ligne droite donnée ab , est une conique passant par les points a et b .

Le lieu des angles circonscrits à une conique, dont les côtés divisent harmoniquement une tangente ab à cette conique , est la droite qui joint les points de contact des tangentes issues de a et de b.

Si autour d'un point fixe on fait tourner deux rayons formant deux faisceaux homographiques dont les rayons doubles soient les tangentes a une conique, la corde interceptée dans la conique enveloppe une autre conique qui a avec la première un double contact sur la polaire du point fixe.