S AUX CONIQUES

1186. Construire une conique connaissant :

i° Cinq points a, b , c, d , e. — abcd forme un quadrilatère inscrit dans la conique cherchée. Par le point <?, on mènera une droite quelconque ef, et l’on cherchera le point f conjugué du point e dans l’involution déterminée sur cette droite par les points où elle rencontre les côtés opposés du quadrilatère. Le point/ appartiendra à la conique.

Si l’on veut trouver la tangente bt en b , on regardera acbt comme un quadrilatère inscrit, dont deux sommets sont infiniment voisins en ô, et la droite ed comme une transversale de ce quadrilatère. Cette transversale coupe les côtés opposés ba , bc, en a, 7, la courbe en e et d , et les

GÉOMÉTRIE DANS ^ESPACE

côtés opposés ac . bt, en S et x. Ces six points formant une involution, on déterminera le point x, et par suite la tangente bt.

2° Cinq tangentes, A, B, C, D, E. — Quatre des tangentes données forment un quadrilatère circonscrit. Qu’on prenne sur la cinquième un point quelconque a et qu’on le joigne aux quatre sommets du quadrilatère ; le sixième rayon, conjugué à la cinquième tangente dans l’involution que ces quatre droites déterminent, est une tangente issue du point a.

Supposons qu’on veuille trouver le point de contact de la tangente B. On considère le quadrilatère formé par les tangentes A, C, B, dont deux côtés se confondent en un seul suivant B, et dont (A, C), (A, B), (B, C) et t sont les quatre sommets. Le sommet t est inconnu, mais les six rayons qui aboutissent au point de concours I de D et E, savoir : D, E, I (A, B), I ( B, G) , I (A, C), I*, sont en involution, et cinq sont connus. Il sera donc facile de déterminer le sixième et, par suite, le point cherché t.

Dans le cas de la parabole, la cinquième tangente est donnée implicitement : c’est la droite de l’infini. Les quatre qui sont données forment un quadrilatère. Par les sommets de ce quadrilatère, on mènera quatre parallèles dans une direction arbitraire; on les coupera par une transversale quelconque, sur laquelle on cherchera le point central de l’invclution qu’elles y déterminent, et la parallèle aux autres droites menée par ce point sera une cinquième tangente.

3° Quatre points et une tangente . — Soient abcd le quadrilatère donné et e le point de contact inconnu de la tangente. Soient a, a', et 6, les points où cette tangente rencontre successivement les côtés opposés du quadrilatère. Ces points déterminent une involution dont e est un point double. Il sera donc facile de le trouver. On voit que la question a deux solutions.

Dans le cas de la parabole, la tangente est à l’infini. Soit S le point de concours des côtés opposés ad et bc du quadrilatère donné. Qu’on mène Se', S d' , parallèles respectivement aux deux autres côtés opposés; on a quatre rayons Se', Se/', Se, Se/, issus du point S, qui, conjugués deux à deux, déterminent une involution. Chacun des deux rayons doubles de cette involution est parallèle à l’axe d’une parabole qui satisfait à la question.

4° Quatre tangentes et un point. — On trouve une cinquième tangente en cherchant les rayons doubles de l’involution qui est déterminée par les quatre rayons, conjugués deux à deux, qu’on obtient en joignant le point donné aux sommets du quadrilatère formé par les quatre tangentes données. Chacun des deux rayons doubles est une tangente à la conique; on a donc deux solutions distinctes.

Pour la parabole, on donne un point et trois tangentes; la quatrième

lus courbes usuelles.