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est à l’infini. La solution est la même; deux des rayons de l’involution sont parallèles respectivement à deux des tangentes données.

5° Trois points et deux tangentes. — Soient a , b) c, les trois points donnés, T et T' les deux tangentes qui se coupent en O et qui louchent respectivement la courbe aux deux points d et e qu’il s’agit de déterminer. On peut regarder la corde de contact de comme représentant un quadrilatère inscrit dont deux sommets sont en d et les deux autres en e. La corde bc , considérée comme une transversale du quadrilatère et de la courbe, fournit une relation d’involution, en vertu du théorème de Desargues, entre les six points où elle coupe les côtés opposés du quadrilatère et la courbe. Ces points se réduisent ici à cinq, savoir : t, t\ sur les tangentes d O, cO, respectivement; s, sur les deux autres côtés opposés qui se confondent en un seul de ; et enfin b, c, sur la courbe. Le point e est donc un point double de l’involulion déterminée par les segments bc , tt'. — Si l’on prend ab comme transversale au lieu de bc, on trouvera de même un point y appartenant à la corde de contact de, qui sera ainsi déterminée par les deux points s et <p. Mais comme chacune des deux relations d’involution fournit deux points doubles £ et e', f et <p', on obtiendra quatre positions distinctes de la corde de, savoir : £9, £<p', e'cp, s'<p', c’est-à-dire quatre solutions du problème proposé.

Dans le cas de la parabole où l’on ne donne qu'une tangente et trois points, on obtient de même quatre solutions. La tangente T' est à l’infini, ainsi que le point t' ; donc, le point t qui lui est conjugué dans l’involution est le point central de cette involution, dont on connaît en outre le segmentée et dont il s’agit de trouver les points doubles. Chacune des quatre cordes de contact ey est un diamètre d’une parabole satisfaisant aux conditions proposées.

6° Trois tangentes et deux points. — Nous allons déterminer deux nouvelles tangentes à la courbe aux points donnés «et b. Soient AB,BC,CD, celles qui sont données. Désignons par O le point de contact inconnu des deux tangentes cherchées; si l’on regarde l’angle bOa comme un quadrilatère circonscrit OaOb dont les côtés adjacents se sont confondus deux à deux en un seul 0« ou O b, on verra que la droite BO est un rayon double de l’involution formée par les deux couples de rayons conjugués B« et B b, BA et BC. Pareillement, CO est un rayon double de l’involution C a, C b, CB, CD. Donc, le point O, intersection des rayons BO et CO, est déterminé. Mais, comme chacune des involutions comporte deux tels rayons, on obtient quatre positions distinctes du point O, et, par conséquent, le problème admet, comme le précédent, quatre solutions.

S’il s’agit d’une parabole, l’une des trois tangentes données est à l’infini, BC par exemple. La construction reste la même en principe; mais ici les deux faisceaux de rayons en involution se composent de droites parallèles,

GÉ03IÉT1UE DANS L’ESPACE

puisque leurs rayons respectifs B et C sont à l’infini. Coupons-les par une transversale quelconque. On aura sur cette droite, relativement au premier faisceau : deux points a, p, intersections des rayons conjugués c/B, /;B; un point w, intersection du rayon AB dont le conjugué CB est à l’infini, ce qui est cause que w est le point central de l’involution ; enfin un point double x, intersection du rayon BX, et qu’il s’agit de déterminer. Relativement au second faisceau, on aura de même deux points conjugués d’une involution a', 6', un point central w', et l’on déterminera un point double^. Les droites .rO, jyO, parallèles respectivement aux deux tangentes données AB, DC, se couperont au sommet O de l’angle circonscrit à l’arc ab de la parabole, et l’on aura encore quatre solutions, parce que l’on obtiendra deux positions du point x et deux positions du point /.

1187. Les solutions précédentes, qui sont extraites d’un excellent article de M. de Jonquières, publié dans le tome XVI des Nouvelles Annales (ire série) , sont fondées sur le théorème de Desargues et le théorème corrélatif.

Les autres théorèmes généraux (proposition fondamentale du n° 1131, théorème de Pascal, théorème de Carnot, etc.) fourniraient de nouvelles solutions.

Reprenons, par exemple, le premier cas, c’est-à-dire celui où l’on donne cinq points a, b, c, cl, c, et appliquons la proposition fondamentale du n° 1131. On prendra deux des points donnés d et e comme sommets des deux faisceaux homographiques dont on aura alors trois couples {cia, ea), ( clb , eb), [de, ce) de rayons homologues. L’intersection d’une droite dm menée à volonté par cl et de son homologue em sera un nouveau point de la conique. — La tangente au point d sera l’homologue du rayon cd considéré comme appartenant au faisceau ( e ), et cette construction donnera la tangente en un point quelconque de la conique, car il suffira de considérer ce point comme le sommet de l’un des faisceaux générateurs. — Les points où une droite donnée L rencontre la conique seront les points doubles des deux divisions tracées sur cette droite par les deux faisceaux. — Les directions des asymptotes s’obtiendront en transportant le faisceau ( e ) parallèlement à lui -même au sommet d , et prenant les rayons doubles du faisceau {d) et du faisceau ( e ) ainsi transporté; car ces rayons doubles sont les rayons du faisceau ( d ) dont les homologues dons ( e ) sont parallèles.— Enfin, une fois les deux points à l’infini « et w' ainsi déterminés, on aura les asymptotes elles-mêmes en menant les tangentes en ces deux points, ce qui se fait en considérant la conique comme engendrée par deux faisceaux ayant w et w' pour centres et prenant dans chaque faisceau l’homologue de la droite à l’infini ww'. Voici le détail de ces opérations : par a , b, c, on mène des parallèles «a,