LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. l
6(3, cy, et au', 6(3', cy', aux droites déjà trouvées dio, d a>'; soient a, (3, y, a , (3', yr, les points où ces droites rencontrent une transversale quelconque L; la droite ww' rencontre L à l’infini; on déterminera les points I et J' conjugués de l’infini dans les deux divisions déterminées par les trois couples (a, a'), ((3, (3'), (y, y'); les droites menées par I parallèlement à dto et par J' parallèlement à dm’ seront les asymptotes.
Indiquons maintenant la solution fondée sur le théorème de Pascal. — Pour avoir le point/ où une droite quelconque menée par a rencontre la courbe, on considérera l’hexagone inscrit dont les sommets seraient a, b , c , d , e,f [fig. 212). On prendra le point n commun aux côtés opposés af et cd, le point / commun à ctb et de\ la droite ni contiendra le point de concours du côté bc et du côté inconnu ef ; on aura donc ce point de concours m par la rencontre de bc et de ln. Dès lors, les droites af et redonneront le point demandé/. — On obtient la tangente en a en considérant le pentagone abcde comme un hexagone abcdef dont deux sommets voisins a et / seraient confondus; le côté af est alors remplacé par la tangente en a , qu’il s’agit de déterminer. A cet effet, on prendra l’intersection l de baf et de de, l’intersection m de bc et de ea ; la droite r/sera la droite qui joint les points de concours des couples de côtés opposés; elle contiendra donc le point de concours de cd et de la tangente en a-, ce point sera donc à la rencontre n de cd et de ml, et an sera la tangente cherchée. Ces constructions sont, au fond, d’une grande simplicité.
La tangente en a une fois connue, on peut trouver les éléments de la courbe par la théorie des figures homologiques, comme nous l’avons expliqué au n° 1179, 3°.
Nous devons faire connaître ici une généralisation remarquable du théorème de Pascal , qui est due à M. Aubert (Nouvelles Annales, 3e série, tome VIII) et qui donne neuf points en ligne droite.
La proposition de M. Aubert peut s’énoncer ainsi :
Si deux triangles ABC, A'B'C' inscrits dans une conique sont homologiques, et si Von prend un point I sur la conique, les points de concours a, (3, y des droites BC et IA', CA et IB', AB et IC' sont situes sur une meme droite L passant par le centre d’homologie D.
En effet, considérons les trois hexagones IA'ABCC', IB'BCAA', IC'CABB'; ils ont un sommet commun I et chacun des autres sommets se déduit de ceux de l’hexagone précédent par une permutation circulaire effectuée sur les lettres. Les trois droites de Pascal corres-
(JÉOMÉTHIE !) AMS L’ ESPACE.
j)onduntes
