IA

Ab bb' IB' |

aDy, (3 1)a,

Chacune d’elles ayant deux points communs avec chacune des deux autres, ces trois droites coïncident et, par suite, les points a, 3, y, D sont en ligne droite.

Ce théorème a de nombreuses conséquences; nous signalerons seulement son application à la construction d’une conique donnée par cinq points I, A, 11, A', b'.

Par le point de concours D de AA’ et BB', menons une droite quelconque L et soient a, (3, y les points où L rencontre IA', IB' et Ab. Les droites a B et (3 A donnent un point C de la conique, et les droites CD et ly en donnent un autre C'.

En conservant le même point I, on peut échanger soit simultanément, soit séparément, les lettres A et A' d’une part, b et b' de l’autre. Avec chacune de ces nouvelles combinaisons de points, la même droite L fournit deux nouveaux points de la conique; on obtient donc huit points de la conique à l’aide de cette droite L.

1188. On a souvent à déterminer une conique par des conditions autres que celles de passer par des points ou de toucher certaines droites.

On dit qu’une condition est simple lorsque la recherche d’une conique assujettie à remplir cette condition et à passer en outre par quatre points est un problème déterminé.

Il est évident, d’après cela, que donner un point ou une tangente équivaut à une condition simple (1186), et qu’il faut cinq conditions simples pour déterminer une conique.

Une tangente et son point de contact \ aient deux conditions ; par suite, il en est de même d’une asymptote; une parallèle à une asymptote ne vaut qu’une condition, puisque cela revient à donner un point situé à l’infini sur cette parallèle.

Un point p du plan et sa polaire P valent deux conditions ; car, si l’on donne en outre trois points a , b , c, de la conique, on aura trois nouveaux points a , b', c de la courbe en prenant les conjugués harmoniques de

b, c, par rapport aux segments interceptés sur les droites pa,pb.pc , entre le point p et sa polaire P. — Un point du plan et un point de sa polaire équivalent à une seule condition.

Le centre vaut deux conditions, puisque c’est le pôle de la droite de l’infini.

Un foyer vaut aussi deux conditions, puisque les droites qui joignent ce point aux deux points cycliques du plan sont tangentes à la conique. On peut aussi remarquer qu’un foyer / et trois points <7, b, c , déterminent la conique : la directrice coupe en effet la droite a b sur la bissectrice du supplément de l’angle afb (1158), etc.

Un axe vaut deux conditions, puisque, si l’on donne en outre trois points de la conique, on a trois nouveaux points de cette courbe en prenant les symétriques des premiers par rapport à l’axe. Il résulte de là qu’un sommet équivaut à deux conditions, car, si l’on donne en outre la tangente en ce point, on aura par là même un axe et un point, c’est-àdire trois conditions.

Dire qu'une conique est une parabole équivaut à une condition, puisque c’est donner une tangente (la droite de l’infini). — Dire que la conique est un cercle équivaut à deux conditions, puisque c’est donner deux points de la courbe (les deux points cycliques du plan). — Savoir qu'une conique est une hyperbole équilatère équivaut à une condition; cela résulte de ce que deux points A et B et une asymptote L (c’est-à-dire quatre conditions) déterminent une hyperbole équilatère. En effet, le théorème des sécantes donne le point où la corde AB coupe l’autre asymptote qui est dès lors déterminée puisqu’elle est perpendiculaire à la première.

1189. A tout système de quatre conditions simples répondent une infinité de coniques formant un groupe. Soient y. et v les nombres des coniques du groupe qui remplissent, outre les quatre conditions données, celle de passer par un point donné ou de toucher une droite donnée. Les nombres y et v ont reçu le nom de caractéristiques du groupe considéré.

Il résulte des solutions données aux nos 1186 et suivants que les groupes de coniques passant par quatre points, passant par trois points et touchant une droite, passant par deux points et touchant deux droites, passant par un point et touchant trois droites, touchant quatre droites, ont respectivement pour caractéristiques

Les propriétés d’un groupe de coniques dépendent essentiellement des caractéristiques de ce groupe, et l’étude de cette dépendance constitue une belle théorie créée tout récemment par M. Chasles et par ses continuateurs, de Jonquières, Zeuthen, etc. Nous ne saurions exposer même les principes de cette théorie sans sortir de notre cadre ; nous nous bornerons à offrir au lecteur un exemple très-simple.

Le lieu des pôles d'une droite fixe L, par rapport aux coniques du

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

groupe qui a pour caractéristiques p et v, est une ligne de l’ordre v. En effet, la droite L ne peut rencontrer le lieu qu’autant qu’elle contient son pôle, c’est-à-dire que lorsqu’elle touche l’une des coniques du système ; or le nombre des coniques du groupe qui tou-client une droite quelconque, et par suite la droite donnée, est par hypothèse égal à v.

On conclut de là, en supposant la droite L à l’infini, que le lieu des centres des coniques passant par quatre points donnés est de l’ordre 2, c’est-à-dire est. une conique , et que le lieu des centres des coniques tangentes à quatre droites est de l’ordre 1, c’est-à-dire est une ligne droite; nous avons déjà trouvé ces deux théorèmes par une autre voie.

1190. Construire les points communs à deux coniques 2 et 2'.

On commencera par chercher les pôles doubles (1171). Pour cela, on construira une conique auxiliaire G, lieu des points de rencontre des polaires par rapport à 2 et à 2' des divers points d’une droite L choisie à volonté. On construira de même une seconde conique auxiliaire G', définie de la même manière relativement à une seconde droite L' prise aussi arbitrairement. Ces deux coniques G et G' auront évidemment en commun le point d’intersection des polaires par rapport à 2 et à 2' du point de rencontre des droites L et L' ; elles auront donc trois autres points communs; ces points seront les pôles doubles/;», //, p" . En effet, soit m l’un de ces points communs; puisqu’il appartient à la conique G, il sera à la rencontre des polaires d’un certain point n de L et, par suite, inversement, les polaires de m passeront par n\ de même, puisque m appartient à la conique G', ses polaires passeront par un certain point n' delà droite L'; donc les polaires du point m coïncideront l’une et l’autre avec la droite nn\ ce qui démontre que rn est un pôle double.

Cela posé, deux cas peuvent se présenter :

Si les coniques auxiliaires G et G' n’ont que deux points communs réels « et p, il n’y aura qu’un pôle double réel . On déterminera alors les deux cordes communes qui passent par ce point; leurs intersections avec l’une des coniques seront les points demandés ; deux d’entre eux seulement seront réels (1 171). Pouravoirles deux cordes communes, on prendra deux points à volontés et e; on cherchera le point commun u' aux deux polaires de u et le point commun i>' aux deux polaires de e ; les cordes communes demandées diviseront harmoniquement les deux angles upu\ vpv' ; en effet, la polaire de u par rapport au système des deux cordes communes passe (1174) par u' ; cette polaire est donc pu ;, et, par suite, pu et pu' sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux cordes communes.

Si les coniques auxiliaires G et G' ont quatre points communs réels w, PiP\p”i h y a (rois pôles doubles réels , />' , ; par chacun d’eux passe un couple de cordes communes, et l’un de ces couples au moins est réel;

L1YUE VIII. — LES C0UU1ÎES USUELLES. 45q

on le déterminera comme ci-dessus, et l’on prendra les intersections des droites du couple avec l’une des coniques; les quatre points seront tous réels ou tous imaginaires.

On voit que la solution consiste à réduire la question à la recherche analogue pour deux autres coniques qui passent par un point connu. On remplace ainsi un problème du quatrième degré par un problème du troisième; au fond, on ne fait pas autre chose en Géométrie analytique, puisqu’on y ramène la question à la résolution d’une équation du troisième degré connue sous le nom d 'équation en

La recherche des tangentes communes s’effectue par des tracés corrélatifs des précédents et qu’il suffit, dès lors, d’indiquer d’une manière rapide.

Autour d'un point pris à volonté, on fait tourner une droite dont on prend les pôles par rapport à 2 et à 2'; la droite qui joint ces pôles enveloppe une conique auxiliaire. Un second point, choisi aussi d’une manière arbitraire, donne d’une manière analogue une seconde conique. Ces deux coniques auxiliaires touchent l’une et l’autre la droite ts passant par les pôles de la ligne qui unit les deux points choisis ; elles ont donc trois autres tangentes communes, dont l’une au moins est réelle : ce sont les polaires doubles P, P', P".

On pourrait d’ailleurs obtenir ces polaires doubles en déterminant d’abord les pôles doubles p, //, //, comme au problème précédent, puis prenant leurs polaires par rapport à l’une des coniques données! et !'.

Cela posé, il peut se présenter deux cas :

Si une seule P des polaires doubles est réelle, on déterminera les deux ombilics placés sur cette droite, et par ces ombilics on mènera à l’une des coniques données des tangentes, dont deux seulement seront réelles. Pour trouver ces ombilics, on prend deux droites arbitraires U et Y, on cherche la droite U' qui joint les pôles de U et la droite Y' qui joint les pôles deV; les deux ombilics devront diviser harmoniquement, chacun des deux segments interceptés sur P par U et U' et par V et V'.

Si les trois polaires doubles P, P', P", sont réelles, chacune d’elles contiendra un couple d’ombilics; l’un au moins de ces couples sera réel, et on le déterminera comme ci-dessus; puis, de ces points, on mènera à l’une des coniques données des tangentes qui seront toutes les quatre réelles ou toutes les quatre imaginaires.

1191. Mener une normale a une conique C par un point P donné dans son plan {fig. 602).

MT étant une tangente à la conique et OM le diamètre qui aboutit au point de contact M , abaissons du point P la perpendiculaire sur MT, et prenons le point Q où cette perpendiculaire rencontre ÜM. Quand le point

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

M décrit la conique, la perpendiculaire qui tourne autour de P et le diamètre OM qui tourne autour du centre O de la conique décrivent deux faisceaux qui sont homographiques, puisque chacun d’eux est homographique du faisceau formé par la rotation du diamètre conjugué de OM. Le lieu du point Q est donc une conique H (1131) qui passe par les points O et P, qui touche au point P le rayon homologue de OP, c’est-à-dire la

perpendiculaire abaissée de P sur la tangente à la conique C au point où OP rencontre cette conique, et qui touche au point O le rayon homologue de PO, c’est-à-dire le diamètre qui aboutit au point de contact de la tangente perpendiculaire à PO. Enfin, celte conique II est une hyperbole équilatère ayant ses asymptotes parallèles aux axes de la conique C; on voit en effet que, quand OM coïncide avec l’un des axes, le point Q passe à l’infini sur cet axe. Cela posé, si M, est le pied d’une normale menée du point P sur la conique C, PM, est perpendiculaire à la tangente au point M, ; ce pied M, appartient donc au lieu II. On aura donc les pieds des normales en cherchant les points communs à la conique proposée C et à l’hyperbole II, qui est bien déterminée, puisqu’on en connaît deux points, les tangentes en ces points et les directions des asymptotes. Le problème a quatre solutions qui peuvent se réduire à deux. En particulier, quand le point P est sur l’un des axes, l’hyperbole se décompose en deux droites rectangulaires dont l’une est cet axe même. Dans le cas où la conique proposée G est une parabole, l’axe de cette parabole est une asymptote de l’hyperbole équilatère H, qui est ainsi bien déterminée, puisqu’on connaît en outre un de ses points P et la tangente en ce point ; les deux courbes C et II ont alors, en commun, outre un pointa l’infini, trois points dont l’un au moins est réel; d’où il suit que le problème a trois solutions ou une seule. Enfin, quand le point P est sur l’axe de la parabole C, l’hyperbole II se réduit à deux droites dont l’une est cet axe lui-même et l’autre, la perpendiculaire à cet axe située à une distance du point P égale au paramètre (1045).

L’emploi de cette hyperbole équilatère pour résoudre le problème des normales remonte à Apollonius. En transformant la solution précédente