PÔLE ET PLAN POLAIRE

1194. On nomme surfaces du second ordre les surfaces dont toute section plane est une conique réelle ou imaginaire; d’où il suit qu’une droite quelconque a, avec une telle surface, deux points communs réels ou imaginaires, à moins qu’elle n’appartienne tout entière à la. surface.

Si, par un point quelconque p de V espace, on mène une droite quelconque L, et si l’on prend sur cette droite le conjugué harmonique p' de p par rapport aux deux points m et ni' communs à la droite L et à une surface du second ordre l,le lieu des points p', quand L se déplace autour de p , est un plan fixe rs.

Observons d’abord que, si l’on mène deux plans quelconques par p , et si l’on prend les polaires de p par rapport aux deux coniques que ces plans déterminent sur la surface 2, ces deux polaires ont un point commun : c’est le conjugué harmonique de p qui est situé sur l’intersection des deux plans. Cela posé, concevons par le point p deux plans fixes a et p arbitraires et un plan quelconque 7 contenant la droite L; soient A, B, C les polaires de p par rapport aux coniques que les plans a,p,7, déterminent sur la surface 2. Le point // est situé sur C ; d’ailleurs, d’après l’observation ci-dessus, la droite C rencontre les droites fixes A et B qui se rencontrent elles-mêmes. Donc le point //est constamment situé dans le plan fixe cr des deux droites A et B.

Le plan v> est dit le plan polaire du point p , et le point p est dit le pôle du plan vs, par rapport à la surface 2.

Le plan polaire d’un point de la surface 2 est le plan tangent en ce point, puisque ce plan tangent contient toutes les tangentes en p aux sections faites parce point, c’est-à-dire toutes les polaires de p par rap-

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port à ces sections; inversement, tout plan tangent a pour pôle son point de contact.

La courbe de contact de tout cône circonscrit à la surface 1 est la co~ /dque suivant laquelle le plan polaire v> du sommet p coupe la surface ; si cette conique est réelle, le point p est dit extérieur à la surface; si elle est imaginaire, le cône cesse d’exister, et le point p est dit intérieur. — Par une droite donnée , on ne peut donc mener (pie deux plans tangents à une surface du second ordre 2 ; car les plans tangents qu’on peut mener à une surface par une droite donnée sont les plans tangents menés par cette droite au cône qui a pour sommet un point quelconque de cette droite, et qui est circonscrit à la surface. — [1 résulte de là que les surfaces du second ordre sont de la deuxième classe, en entendant par classe d’une surface le nombre des plans tangents qu’on peut mener à cette surface par une droite.

1195. Le plan polaire de tout point d’un plan passe par le pôle de ce plan, et, réciproquement, le pôle de tout plan passant par un point est sur le plan polaire de ce point. Par suite, les plans polaires de tous les points d7une droite L passent par une droite L', et, inversement, les pôles de tous les plans passant par une droite L' sont sur une droite L. Deux droites L et L', telles que l’une contient les pôles des plans passant par l’autre, sont dites conjuguées. A toute droite L répond une droite conjuguée L', et une seule; on l’obtient en joignant les pôles de deux plans menés à volonté par L, et en particulier en joignant les points de contact des plans tangents conduits par L.

Le pôle d’une droite L par rapport à la section faite dans la surface par un plan a contenant la droite L coïncide avec le pôle par rapport à la surface du plan que déterminent la droite L et le pôle a du plan a; il appartient donc à la conjuguée L' de L. Donc, si Von coupe une surface du second ordre 2 par une série de plans contenant une meme droite L, les pôles de cette droite L par rapport aux diverses sections sont sur une droite L' qui contient encore les pôles de tous ces plans sécants par rapport à la surface et, en particulier, les points de contact des deux plans tangents conduits par la droite primitive L.

Lorsque quatre points sont en ligne droite, leurs plans polaires forment un faisceau dont le rapport anharmonique est égal à celui des quatre points.

Lorsque quatre droites concourantes sont situées dans un meme plan, leurs conjuguées forment un faisceau plan qui a meme rapport anharmonique que le faisceau primitif.

1196. Deux points sont dits conjugués par rapporta une surface du second ordre, lorsque le plan polaire de l’un passe par l’autre. Plusieurs