PLANS DIAMÉTRAUX, DIAMÈTRES, CENTRE ; SECTIONS PARALLÈLES

1 197 . Dans toute surface du second ordre > le lieu des milieux des cordes parallèles à une direction donnée est un plan : c’est le plan polaire des points à l’infini communs à toutes ces parallèles. On donne à ce plan le nom de plan diamétral conjugué à la direction des cordes.

Le pôle du plan à l’infini est évidemment commun à tous les plans diamétraux ; on le nomme centre de la surface.

Toute corde passant par le centre a son milieu en ce point et prend le nom de diamètre .

Un diamètre et un plan diamétral sont dits conjugués lorsque le diamètre passe par le pôle du plan diamétral (1196). A chaque diamètre répond un seul plan diamétral conjugué, et réciproquement.

1198. Le centre est le sommet d’une infinité d’angles trièdres polaires (1196), c’ est-à-dire de trièdres dont chaque arête est le diamètre conjugué du plan diamétral déterminé par les deux autres. Les trois arêtes forment un système de trois diamètres conjugués deux à deux, et les trois faces un système de trois plans diamétraux conjugués deux à deux.

1199. Si l’on coupe une surface du second ordre 1 par une série de plans parallèles a,, ar ..., c’est-à-dire par une série deplans ayant unedroilecom-

GÉOMÉTRIE DANS l/ESPACE.

mime L à l’infini, les centres des sections seront les pôles de cette droite L par rapport à ces sections : ils seront donc (I'195j tous situés sur une meme droite L' qui contient aussi les pôles des plans a,, «2,. . par rapT port à la surface ; cette droite est le diamètre conjugué du plan diamétral a parallèle aux plans considérés, puisqu’elle renferme à la fois le centre de la section faite parce plan a et le pôle de ce plan. Les deux plans tangents parallèles aux plans considérés auront leurs pôles, c’est-à-dire leurs points de contact, sur cette droite L', d’où l’on voit que tout plan tangent à une surface du second ordre est parallèle au plan diamétral conjugué du diamètre qui passe par le point de contact. Enfin, si l’on mène deux plans conjugués quelconques par le diamètre L', le premier coupera les plans a2, . . ., suivant des droites A,, A2, . . ., parallèles entre elles; le second coupera les mêmes plans suivant des droites A',, A'2, . < ., parallèles entre elles; d’ailleurs les couples (A,, A'(), (A2, A'.,), seront des diamètres conjugués des sections G,, C2,..., faites par les plans a(, a2, .... Ainsi, à chaque système de diamètres conjugués dans la conique C, répondra, dans chacune des coniques C2, . . ., un système de diamètres conjugués respectivement parallèles à ceux de C(. Donc les sections C,, C2,..., faites par des plans parallèles dans une surface du second ordre, sont semblables et semblablement placées.