LIVRE VIII

LES COURBES USUELLES

les mêmes positions que dans le premier, il faudrait, si l’on excluait la considération du cercle imaginaire, employer dans les deux cas des énoncés différents, qu’aucun lien apparent ne rattacherait l’un à l’autre, tandis que l'emploi du cercle imaginaire permet de n’avoir qu’un théorème et d’exprimer la propriété dont il s’agit d'une manière plus saisissante et qui fait image.

Voici un exemple très-simple qui fera bien comprendre notre idée :

On sait que la polaire P d’un point p par rapport à un cercle de centre o est la droite menée perpendiculairement au diamètre op par le point p' de ce diamètre que détermine la relation

(i) ‘ op.op'=r\

et l’on a démontré que les polaires des divers points d’une droite L passent par un même point. Dans cette définition de la polaire, aussi bien que dans la démonstration du théorème cité, le cercle n’a aucune part, et l’on ne fait intervenir en somme que les points o et p et la quantité r2. La proposition subsiste donc dans le cas où r2 est négatif; seulement, alors, il n’y a en réalité plus de cercle; la droite P, toujours définie par la relation (1), n’est plus, par rapport au point o, du même côté que le point p, et le théorème prend la forme suivante : Si, par les divers points p d’une droite L, on mène à un point fixe o des rayons po sur lesquels on marque des points p' déterminés par la relation (i), les perpendiculaires élevées par ces points p' sur les rayons correspondants passeront par un point fixe . On voit combien cet énoncé est lourd, et combien il est à la fois plus simple et plus clair d’exprimer le même fait en conservant l’énoncé primitif, à la condition de dire que le cercle est alors imaginaire et de donner à la droite P le nom de polaire du point p par rapport à ce cercle imaginaire. Bien quesc rapportant à un cercle imaginaire, la proposition n’en aura pas moins une signification parfaitement précise et portant j en définitive sur des choses réelles.

La formule (1) est susceptible d’une interprétation géométrique fort utile.

Supposons r2 négatif, et soit r'2 sa valeur absolue. Menons par o une droite perpendiculaire au plan et égale à /•'; j étant l’extrémité de cette perpendiculaire, on aura

op . op = os2,

ce qui prouve que l’angle psp' est droit. On a donc ce théorème :

Si, par le centre o d’un cercle imaginaire, on mène une droite os perpendiculaire au plan du cercle et égale à son rayon supposé réel, la droite qui joint le point s à un point quelconque p du plan du cercle est perpendiculaire au plan qui passe par le point s et par la polaire P du point p par rapport au cercle imaginaire.

(iÉOMÉTIUli DANS L ESI'ACE.

1201. Nous avons vu (1111) que tous les cercles d’un plan coupent 3a droite à l’infini de ce plan aux deux mêmes points imaginaires. On conclut de là que toutes les sphères coupent le plan à l’infini suivant un même cercle imaginaire qu’on nomme le cercle imaginaire à l'infini . Soient, en effet, G et C' les cercles déterminés par le plan à l’infini dans deux sphères quelconques 2 et 2'; pour prouver que ces cercles coïncident, il suffit de montrer que tout plan tt les coupe aux deux mêmes points. Or, le plan n donne dans les deux sphères deux cercles A et A/, qui coupent la droite de l’infini du plan ir aux deux points cycliques de ce plan ; ces deux points, appartenant au cercle A et au plan de l’infini, appartiennent au cercle C, et l’on voit de même qu’ils sont sur le cercle C'.

Lorsqu une droite P et un point p sont pôle et polaire par rapport au cercle imaginaire à l’infini, la droite qui joint un point quelconque q de l’espace au point p est perpendiculaire au plan mené par ce point q et par la droite P. En effet, soient o le centre d’un cercle imaginaire, intersection d’une sphère fixe et d’un plan u, p{ le point où la droite qp perce le plan w, P, la polaire de p{ par rapport au cercle imaginaire, s l’extrémité d’une droite menée par o perpendiculairement au plan u et égale au rayon du cercle imaginaire supposé réel. La droite sp{ sera (1200) perpendiculaire au plan déterminé par a et P,, et cette perpendicularité subsistera lorsque le plan rs se déplacera en s’éloignant indéfiniment du centre de la sphère ; mais, à la limite, les droites qp{ et spx sont parallèles, et il en est de mêmedes plans déterminés par la droite P, et par chacun des points s et px. Donc la droite qp est perpendiculaire au plan de la droite P et du point q.

1202. Nous pouvons maintenant aborder la recherche des plans principaux et des sections circulaires dans les surfaces du second ordre.

Considérons une surface du second ordre 2 et la conique G réelle ou imaginaire suivant laquelle le plan à l’infini coupe cette surface. Le cercle imaginaire à l’infini G' rencontre cette conique en quatre points imaginaires conjugués deux à deux, a et b, c et d. Les deux lignes C et G' ont donc trois couples de cordes communes

( ab,cd ), ( acfid ), ( ad fie ),

dont le premier est seul réel, et un triangle autopolaire commun ppp" dont les trois sommets sont réels (1171).

Désignons par I le centre de la surface 2. La droite I p est le diamètre conjugué du plan diamétral I p’p" (1197); d’ailleurs cette droite et ce plan sont rectangulaires ( 1201 ) ; donc I p est un axe et I p'p" est le plan principal correspondant à cet axe. On prouverait de même que I p' et I pp", \p” et I pp' jouissent de la même propriété, d’où résulte, pour les surfaces du second ordre, l’existence de trois plans principaux réels.