LIVRE VIII

LES COURBES USUELLES

section L, à l’infini sont parallèles; donc G est parallèle au plan gox. Ainsi, toutes les génératrices d'un système sont parallèles au plan gox, et l’on verrait de même que toutes les génératrices de Vautre système sont parallèles au plan lox. Les deux plans fixes gox , lox , prennent le nom de plans directeurs de la surface. Il résulte du n° 1220 que les plans principaux divisent en deux parties égales les angles dièdres formés par les plans directeurs.

Toutes les génératrices d’un système étant parallèles à un même plan, ces droites divisent deux génératrices quelconques de l’autre système en parties proportionnelles, et la surface peut être considérée comme engendrée par une droite mobile formant sur deux droites fixes deux divisions /tomographiques semblables. Cette propriété est très-utile dans les applications; on l’utilise aussi pour construire des modèles en fil de la surface.

SURFACES ÜU SECOND ORDRE NON REGLEES.

1223. 11 nous reste à étudier les surfaces non réglées du second ordre.

Tout plan tangent a à l’une quelconque de ces surfaces en un point a n’a en commun avec cette surface que le point «; car, s’il en avait un autre b , la droite ab serait commune au plan a et au plan polaire (3 d e & ; elle serait donc sa propre polaire, et chacun de ses points étant à luimême son conjugué serait sur la surface. Il y aurait donc sur la surface une droite ab, et, par suite, il y en aurait une infinité.

Il suit de là que, si l’on mène de part et d’autre d’un plan tangent a deux plans parallèles et infiniment voisins, un seul de ces deux plans rencontrera la surface. Il y a donc dans l’espace des plans qui ne rencontrent pas la surface, des plans qui la coupent, et des plans qui n’ont qu’un point commun avec elle; les pôles de ces plans sont pour les premiers intérieurs à la surface, pour les seconds extérieurs , et pour les derniers situés sur la surface.

On classe les surfaces non réglées du second ordre par la considération du plan tangent à l’infini. Ce plan peut être extérieur à la surface, la toucher ou la couper suivant une conique qui diffère de deux droites. De là, trois surfaces distinctes auxquelles on donne les noms suivants :

n’ayant aucun point à

Surfaces du second!

ordre sur lesquelles !

on ne peut placer, aucune droite. f

(coupée par le plan de l'infini |

suivant une conique ordi Hjrperbolo’ide à deux nappes. naire . ^

Mous allons décrire successivement ces trois surfaces.

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE