LIVRE VIII

1^-d. Soient oa' , ob', oc' , un système de trois demi-diamètres conjugués, et ou, oh, oc, les trois demi-axes. Conservons le diamètre oc' et substituons à ou' et oh' deux autres diamètres oa" et ob" conjugués entre eux dans le plan a'ob', et dont l’un oa" soit l’intersection de ce plan avec le plan aob; on aura

oa' -+- ob' = oa" -+ ob" .

Les trois droites oa ", ob', oc', formeront encore un système de diamètres conjugués, et le plan b" oc' contiendra l’axe oc, puisque oa" est dans le plan principal aob. Conservons maintenant oa ", et remplaçons ob" et oc' par deux nouveaux diamètres conjugués situés dans le plan c'ob ", dont l’un, ob,, soit l’intersection de ce plan avec le plan aob ; alors, oa" et ob, se trouvant l’un et l’autre dans le plan principal aob , le conjugué de ob, ne sera autre que l’axe oc, et l’on aura

ob" -+- oc' — ob, -t- oc .

Enfin, la comparaison du système actuel oa" , ob„ oc, avec le système oa, ob, oc, donne

oa" h- ob, = oa -h ob ,

et, en ajoutant les trois relations précédentes, on obtient

oa' -f- ob' -ï- oc' — oa -+- ob oc ;

ce qui donne la généralisation du premier des théorèmes d’Apollonius (1147) :

La somme des carrés de trois diamètres conjugués quelconques est constante.

Le second théorème d’Apollonius se généralise de même :

Le volume du parallé/ipipède construit sur trois diamètres conjugués (/uelconques est constant.

En effet, on a évidemment

vol. (oa', ob', ocj = vol. (oa", ob",oc'),

puisque ces deux corps ont la même hauteur et des bases équivalentes comme parallélogrammes construits sur les deux systèmes de diamètres conjugués ou' et ob' , oa" et ob", de la section faite par le plan a'ob' . On a de même

vol. (oa", ob", oc') = vol. (oa", ob, , oc ) = vol. (oa, ob, oc),

d’où résulte

vol.(o«', ob',oc')= vol .(oa,ob, oc).

GÉOMÉTRIE DANS L/ESPACE

1226. Si deux des axes sont égaux, l’ellipsoïde devient de révolution autour du troisième axe. Enfin, si les trois axes sont égaux, l’ellipsoïde se réduit à une sphère.