II YPERBOLOÏDE A DEUX NAPPES

1228. L’hyperboloïde à deux nappes [fig. 6 1 3), étant coupé par le plan de l’infini suivant une conique ordinaire G, a un centre o placé à distance

Fijj. 6 1 3 .

finie et extérieur à la surface. Le cône qui a le point o pour sommet et la conique C pour directrice est tangent à la surface tout le long de cette conique à l’infini ; on le nomme cône asymptote, et la surface étant intérieure à ce cône se compose de deux parties ou nappes séparées, situées chacune dans l’une des nappes du cône. Les diamètres et plans diamétraux conjugués de la surface sont les mêmes que ceux du cône ; elle a donc les mêmes axes que ce cône; l’axe intérieur au cône rencontre donc seul la surface qui n’a que deux sommets réels. Tout plan passant par l’axe transverse

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

coupe la conique C de l’infini en deux points et, par suite, la surface suivant une hyperbole symétrique par rapport à cet axe et ayant pour sommets réels les deux sommets réels de la surface; ce fait met mieux encore en évidence la division de la surface en deux nappes.

Les sections par des plans perpendiculaires à l’axe transverse sont des ellipses semblables dont les sommets sont situés sur les deux hyperboles principales dont les plans passent par l’axe. Ces ellipses se réduisent à un point lorsque le plan sécant passe par l’un ou l’autre sommet; quand le plan sécant est entre les deux sommets, la section devient imaginaire.

Les plans cycliques de la surface sont les mêmes que ceux du cône asymptote.

L’équation de la surface se déduit de celle del’hyperboloïde à une nappe en changeant b 2 en — &2; elle est

l’axe des x étant dirigé suivant l’axe réel.

Cette surface n’a aucune importance au point de vue des applications. Nous avons hâte d’ailleurs de terminer cette esquisse déjà bien longue de la théorie des surfaces du second ordre. Le lecteur qui voudra la lire, la plume à la main, en restituant les figures une à une, n’éprouvera aucun embarras pour démontrer les points secondaires que nous n’avons fait qu’énoncer. Il pourra ensuite, s’il veut pousser plus avant cette étude, consulter avec le plus grand fruit le Supplément sur les propriétés projectives des figures dans V espace, de Poncelet ; les Mémoires de M. Chasles sur les cônes, sur les coniques sphériques et sur les surfaces réglées , et enfin Y Aperçu historique.