SA AB ^ AC

831. Soit un tétraèdre SABC coupé par un plan quelconque DEF ; menons les diagonales des quadrilatères ABDE, BCFE, ACFD ; ces diagonales se rencontrent deux à deux aux points G, H, K, et les droites SG, SH, SK, coupent elles-mêmes les côtés de la base ABC aux points L, M, N . Démontrer : i° que les transversales AM, BN, CL, se coupent en un même point O de la base ABC ; 2° que les transversales SO, AH, BK, CG, se coupent en un même point P de l’espace.— Examiner le cas où la section DEF est parallèle à la base ABC.

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GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

632. Dans un tronc de pyramide triangulaire à bases non parallèles, les points d’intersection des diagonales des trois faces latérales et les points d’intersection des côtés des bases prolongés deux à deux sont dans un même plan.

633. La hauteur d’un tétraèdre régulier est égale à la somme des perpendiculaires abaissées d’un point pris dans l’intérieur du polyèdre sur ses quatre faces. — Examiner le cas où le point est choisi extérieurement.

634. Si, par un point quelconque pris dans l’espace, on fait passer plusieurs droites parallèles et égales aux différents côtés d’un polygone ou plusieurs polygones parallèles et égaux aux différentes faces d’un polyèdre quelconque, la somme algébrique des produits obtenus en multipliant la longueur ou l’aire de chacun des éléments ainsi transportés par la perpendiculaire abaissée sur lui d’un autre point constant de l’espace est égale à zéro. — Les produits considérés sont positifs ou négatifs, suivant que les faces transportées laissent ou non d’un même côté le centre commun des perpendiculaires.

635. Soit le tétraèdre SABG; menons une section quelconque DEF parallèle à la base ABC, et joignons les milieux des côtés de cette section aux sommets opposés de la base : les trois droites obtenues se croisent en un même point dont on demande le lieu.

636. Par un point quelconque pris dans l’intérieur de la base d’une pyramide régulière, on mène à cette base une perpendiculaire qui rencontre toutes les faces de la pyramide ou leurs prolongements : démontrer que la somme des distances des points de rencontre obtenus à la base de la pyramide est constante. — Considérer le cas où le pied de la perpendiculaire élevée à la base est extérieur à cette base.

637. Étant données les quatre hauteurs d’un tétraèdre et les distances d’un point à trois des faces, déterminer la distance de ce point à la quatrième face.

638. La somme des distances des sommets d’un tétraèdre à un plan est égale à quatre fois la distance du centre de gravité du tétraèdre à ce plan.

639. Quand, dans un tétraèdre, sur les trois couples d’arêtes opposées, deux sont formés d’arêtes perpendiculaires, la même condition est remplie par le troisième couple. — Conclure de là qu’il existe une infinité de tétraèdres à arêtes opposées orthogonales.