COS<p

où Cih désigne la quantité - [r-

-t -rl-c

lut) pour/ =

Cette équation

change pas quand

on y change

simultanément

signes de rt,r2,r3, y. D’après cela, à chaque combinaison de signes pour rt, r2, 7-3, r4, et à la combinaison opposée, répondent les deux racines de la même équation du second degré. En faisant varier les signes de rn /2, /•., r4, on trouve les seize solutions du problème.

En procédant d’une manière analogue, on obtiendrait une équation donnant les rayons des cercles coupant trois cercles situés dans un même plan, sous des angles respectivement donnés. Cette équation est d’ailleurs celle qu’on obtient en supprimant dans le déterminant (9) la dernière horizontale et la dernière verticale; en faisant varier les signes, on aurait les huit solutions du problème groupées deux à deux.

APPLICATION DES DÉTERMINANTS. 5jO

L’équation (9), dans laquelle on remplace les cosinus par l’unité, donne les rayons des sphères tangentes à quatre sphères données , et celle qui en résulterait en supprimant la dernière horizontale et la dernière verticale donnerait pareillement les rayons des cercles tangents à trois cercles donnés.

Enfin, comme dernière application de cette relation (9), nous allons en

déduire le rayon de la sphère circonscrite à un tétraèdre ; il faut, dans ce

cas, supposer r, = r, = r3 = r4 = o, et par suite ca = — -dik] l’équation

devient

r/31 o fl.

d’où l’on déduit, en ajoutant à la deuxième horizontale la première multipliée par - et ayant égard à la relation (G),

(10) 57GV2p2 =

du'fn

(lAz

<lA*

(lA*

En comparant le dernier déterminant au déterminant (2) et désignant par T l’aire du triangle dont les côtés seraient égaux aux produits des couples d’arêtes opposées du tétraèdre, on voit qu’on a définitivement pour le rayon de la sphère circonscrite.

Cette expression remarquable est due à Crelle (Sammlung mathcmatischer Aufsàtze ) .

Ces notions doivent suffire pour inspirer au lecteur le désir de lire les Mémoires originaux sur l’application des déterminants à la Géométrie. Les travaux faits sur ce sujet sont fort nombreux : nous citerons les Mémoires de MM.Joachimsthal(/o«/v?<7/ de Crelle, t. XL), Cayley ( Journal de Cambridge, t. II), Brioschi (Journal de Crelle, t. L), Kronecker (Journal de Crelle, t. LXXII), Darboux (Annales de V École Normale, 2e Série, t. I), Bauer (Journal de Schlômilch, t. V, et Mémoires de V Académie de Munich pour 1873), Frobenius (Journal de Crelle, t. LXXIX).

NOTE II. 577

NOTE II

SUR LA GÉOMÉTRIE NON EUCLIDIENNE

La théorie des parallèles n’a fait aucun progrès depuis Euclide jusqu’au commencement de notre siècle. Tous les efforts pour démontrer le postulatum d’Euclide ou une proposition équivalente étaient restés infructueux, lorsque Lobattclieffsky en 1829 et Bolyai en 1882, changeant résolument de voie, conçurent et exécutèrent séparément le projet hardi de supposer que la proposition à démontrer n’était pas vraie et de constb tuer un nouveau système de géométrie non contradictoire, en poussant jusqu’à ses dernières limites le développement de leur hypothèse. Gauss qui, par ses propres méditations, avait obtenu les mêmes résultats dès 1792, sans toutefois avoir rien publié sur ce sujet, assura par son patronage le succès de l’œuvre de Lobattclieffsky qui, écrivait-il à Schumacher, « avait traité la matière de main de maître ». Depuis lors un grand nombre de géomètres, parmi lesquels il faut surtout citer Riemann et Beltrami, ont considérablement agrandi le champ de ces spéculations qui, on ne saurait le méconnaître, ont jeté une vive lumière sur la véritable origine des vérités géométriques.

L’analyse de ces nombreux travaux (x) serait fort longue; nous nous proposons ici uniquement d’en faciliter la lecture en exposant les principes fondamentaux de cette partie de la Science qui, après avoir été appelée successivement Géométrie astrale , Géométrie imaginaire, Pangéométrie , a reçu définitivement le nom de Géométrie non euclidienne .

(') Lobattcheffsky, Nouveaux principes de Géométrie ( Mémoires de l’ Université de Kasan et Courrier de Kasan , 1826? 1829, i836-i838) ; Géométrie imaginaire (J. de Crelle, 1887); Études géométriques sur la théorie des parallèles (Berlin, i8jo); Pangéométrie (Kasan, 1 855 ). — Bolyai, A ppendix scientiam spatii absolute veram exhibens ( Maros-Vasazhély, 1 832 ). — Riemann, Sur les hypothèses de la Géométrie (Académie de Gôttingue, 1867). — Helmiioltz, Sur les faits fondamentaux de la Géométrie (Heidelberg, 1868). — Battaglini, Sur la Géométrie de Lobattcheffshy ( 6’ iorn a le ; Naples, 1868). — Beltrami, Interprétation de la Géométrie non euclidienne (Niples, 1868); Sur les espaces de courbure constante (Milan, 1868). — Klein, Sur la Géométrie non euclidienne ( Math . Annalen, 1871). — De Tilly, Essai sur les principes fondamentaux de la Géométrie et de la Mécanique ( Mémoires de l’ Académie de Bordeaux, 1879).

Plusieurs de ces Mémoires ont été traduits en français par M. Houël.

R. et de C. — Tr. de Géom. (Il8 Partie). ^7

NOTE II

i° Considérons dans un plan un point p et une droite LL'; soient po la perpendiculaire abaissée de p sur LL' et E/?E' la perpendiculaire élevée par p sur po [flg. 625). On sait (57) que cette perpendiculaire ne rencontre pas LL'. Mais cette droite est-elle, parmi celles qui passent par/?, la seule qui jouisse de cette propriété? C’est ce que l’on admettait depuis Euclide. Cependant tout ce qu’on peut affirmer, et c’est là le point de départ de Lobattcheffsky, c’est que, si une droite illimitée tourne autour du point p dans le sens de la flèche, depuis la position po jusqu’à la position E'/?E, elle passera nécessairement par une position vpu, telle que toutes les droites contenant le point p et situées dans l’angle upE (et dans son opposé) ne coupent pas LL', tandis que toutes les droites situées dans l’angle opu (et dans son opposé) coupent o L.

Fig. 625.

D’après cela, en désignant par v' pu' la symétrique de vpu par rapport à po, on voit que toutes les droites menées par le point p dans le plan peuvent être rangées par rapport à LL' en deux catégories suivant qu’elles coupent LL' ou qu’elles ne la rencontrent pas; les sécantes sont comprises dans les angles upu! et vpv ; les non-sécantcs dans les angles upv et vpu'. Les deux lignes de démarcation uv et u'v' sont dites parallèles à LL' relativement au point p. Ainsi, par chaque point p d’un plan, on peut mener à toute droite LL' de ce plan deux parallèles, Lune vu pour le côté o L de la droite, l’autre vu pour l’autre côté oL'. On désigne par angle de parallélisme relatif au point p l’angle opu ou son égal opu'.

20 Ce qui distingue une parallèle vu ou v'u' d’une non-sécante quelconque, c’est que la parallèle devient sécante dès qu’on la dévie en diminuant d’aussi peu qu’on veut son inclinaison opu ou opu' sur la perpendiculaire po.

Dans le cas où l’angle de parallélisme est droit, la classe des droites non-sécantes disparaît et les deux parallèles se réduisent à une seule E/Æ'.

3° Voici maintenant deux propositions qui sont les compléments indispensables de la définition des parallèles.

GÉOMÉTRIE NON EUCLIDIENNE

Une droite conserve le caractère du parallèlisme en tous ses points. — En d’autres termes, si H'H est parallèle à D'D relativement au point A, elle est encore parallèle à D'D relativement à tout autre Ai ou A2 de ses points [ Jïg. 626).

En effet, supposons d’abord un point situé sur la partie AH de H'H qui fait avec la perpendiculaire AC un angle CAH égal à l’angle de parallélisme. Abaissons Ai Ci perpendiculaire sur DD', menons Ai F dans l’intérieur de l’angle Ci Ai H, et prenons sur cette droite un point F aussi voisin qu’on pourra de Ai; la droite AF ira couper CD en un certain point G, et l’on aura un triangle ACG dont le contour étant rencontré

Fig. 626.

une première fois en F par la droite A! F devra être rencontré une deuxième fois par la même droite ; or Ai F, d’après sa construction, ne peut couper le côté AC, elle ne peut pas non plus avoir un second point commun avec le côté AG; donc elle coupe le côté CG, et, par suite, AtH est parallèle à D'D relativement au point Al5 puisque toute droite Ai F, située dans l’angle Ci Ai H, rencontre D'D, si petit que soif l’angle H At F.

Considérons, en second lieu, un point A2 situé sur AH', et soit A2C2 la perpendiculaire abaissée de A2 sur D'D; prenons sur AC un point F' aussi voisin de A qu’on voudra, et menons AF faisant avec AH un angle I1AF égal à HA2F'; la droite AF ira couper CD en un certain point G, et la droite A2F' coupant une première fois, en F', le contour du triangle ACG, devra couper ce contour une seconde fois. Or elle ne peut couper une seconde fois le côté AC; d’autre part, puisque les angles correspondants HAF, HA2F' sont égaux, A2F' ne peut rencontrer AF (*); donc A2F' coupe le côté CD; etc.

(*) Nous admettons ici que, si deux droites AB, CD (fig. 43), forment avec une troisième FE des angles correspondants FGB, FHD, égaux, ces deux droites ne peuvent se rencontrer. La démonstration de ce théorème, donnée au n° 64, dépend du postulatum d’Euclide; mais on peut démontrer le fait indépendamment de tout postulatum. En effet, on peut, par une rotation autour du milieu O de GH, amener la ligure BGHD sur la ligure CHGA, de façon que GB

ISO T K 11.

Le parallélisme de deux droites est réciproque. — En d’autres termes, si AB est parallèle à CO [fig. 627), CD est parallèle à AB.

E11 effet, soit AC une perpendiculaire sur CD; menons dans l’angle ACD une droite CE faisant avec CD un angle DCE aussi petit qu’on voudra; enfin abaissons AF perpendiculaire sur CE; AF sera moindre que AC; prenons sur AC une longueur AG = AF et faisons tourner la figure BAFE autour de A, de façon que AF vienne sur AG ; soient GH et AK les positions que prennent FE et AB ; AK coupera CD quelque part en K, etl’on aura un triangle ACK dont le contour étant rencontré une première fois, en G, par GH, devra être rencontré une deuxième fois par cette même droite ; mais GII étant comme CD perpendiculaire à AC ne peut rencontrer CD ; donc GH coupe AK en un certain point L. Donc, en ramenant le triangle LAG en sa position primitive, c’est-à-dire en le faisant tourner autour de A de façon que AG vienne sur AF, AK sur AB et GH sur

FE, on voit que CF doit couper AB, quelque petit que soit l’angle DCE; donc (20) CD est parallèle à AB.

i° Dans tout triangle rectiligne ABC,/<7 somme des angles ne peut surpasser deux angles droits.

En effet, soit A le plus petit angle du triangle; en prolongeant la médiane AI d’une quantité IE égale à elle-même et joignant EC, on forme un triangle ACE dans lequel (on le voit sans peine) la somme des angles est la même que dans le triangle primitif et la somme des deux plus petits angles est égale à A. Le plus petit angle du nouveau triangle est donc au plus égal à | A. En opérant de même sur ce second triangle, puis sur le suivant, etc. , on obtient une suite de triangles, dont la somme des angles reste la même et dont le plus petit angle est successivement

moindre que

• • et, par suite, peut devenir aussi petit qu’on

recouvre HC et que DH recouvre GA; si donc GB et HD se rencontraient, HC et GA se rencontreraient aussi, et les deux droites AB, CD auraient deux points communs sans coïncider.

GÉOMÉTRIE NON EUCLIDIENNE

veut. Or, si la somme des angles du triangle primitif surpassait deux droits d’une certaine quantité a, en opérant sur ce triangle, comme nous venons de le dire, on obtiendrait, après un nombre suffisant d’opérations, un triangle ayant son plus petit angle inférieur à a; le triangle suivant aurait à la fois la somme de ses trois angles égale à 2 R -+- a, R désignant un angle droit, et la somme des deux plus petits angles moindre que a; le troisième angle de ce triangle surpasserait donc 2 R, ce qui est absurde.

20 Si dans un triangle rectiligne ARC la somme des angles est égale à deux angles droits, il en est de meme pour tout autre triangle

K fis- 628)*

En effet, deux au moins des angles du triangle ARC sont alors aigus; soient, par exemple, A et C, ces deux angles; la perpendiculaire RO abaissée du sommet B sur AC partage le triangle ABC en deux triangles rectangles ABO, CBO dans chacun desquels la somme des angles est égale à 2 R, sans quoi la somme totale des angles de ces deux triangles serait

Fig. 628.

( 1 0 ) inférieure à 4R et, par suite, en retranchant les deux angles en O, qui sont droits, la somme des angles du triangle proposé ABC serait inférieure à 2 R. Il suit de là que, si l’on construit sur AB un triangle BAI, égal à ABO, on aura un quadrilatère AOBI, dont les côtés opposés sont égaux deux à deux et dont les angles sont droits. En superposant 7 quadrilatères égaux à celui-là et juxtaposant p figures égales à la figure AOQS, ainsi obtenue, on obtient un quadrilatère POQR, dont tous les angles sont droits et dont les côtés opposés, égaux deux à deux, peuvent devenir aussi grands qu’on veut, en prenant les nombres p et 7 assez grands. Ce quadrilatère sera partagé par la diagonale PQ en deux triangles rectangles égaux et l’on verra, comme ci-dessus, que la somme des angles de chacun de ces triangles est égale à 2 R. Donc on peut construire un triangle rectangle POQ, dans lequel la somme des angles est égale à 2 R et assez grand pour contenir dans son intérieur tout triangle rectangle donné DOE, lorsqu’on aura fait coïncider les angles droits de ces triangles. Or la droite QD décompose POQ en deux triangles QDP, QDO, dans chacun desquels la somme des angles est égale à 2 R, sans quoi la somme des angles du triangle total POQ serait moindre que 2 R ; de même, la droite DE partage QDO en deux triangles DEO, DEQ, dans chacun desquels la

K OTE il.

somme des angles est égale à 2 R, sans quoi la somme des angles du triangle total QDO serait inférieure à 2 R. 11 est donc démontré que, par suite de l’hypothèse, la somme des angles serait égale à 2R dans un triangle rectangle quelconque DOE ; il en serait de môme, par suite, pour tout triangle rectiligne, puisqu’un tel triangle peut toujours être décomposé en deux triangles rectangles.

3° Par un point donné A, extérieur à une droite BG, on peut toujours mener une droite faisant avec la première un angle aussi petit qu’on veut

En effet, soit AB perpendiculaire sur BC, D un point pris à volonté sur BC, et DE une longueur égale à AD et portée sur BG à la suite de BD. La somme des angles du triangle ADE ne pouvant surpasser 2 B, on a, puisque ce triangle est isocèle,

2 AEB +- (2R - ADB) <2 R, d’où AEB < ‘ ADB.

Ainsi, étant donnée une droite AD, coupant BC sous un certain angle, on peut toujours en trouver une autre AE, faisant avec BC un angle au plus égal à la moitié du précédent; en opérant sur cette nouvelle droite comme sur la première et continuant ainsi, on parviendra à une droite faisant avec BG un angle aussi petit qu’on voudra.

4° Si deux perpendiculaires AH, BC à une meme droite AB sont parallèles , la somme des angles est égale ci deux angles droits dans tout triangle rectiligne ( fi g . 629).

Fig. 629.

En effet, menons dans l’angle BAH une droite AE, faisant avec AH un angle HAE aussi petit qu’on voudra; cette droite AE coupera BG, et l’on peut supposer, d’après le numéro précédent, que l’angle AEB, sous lequel AE coupe BC, soit aussi petit qu’on veut. Cela posé, D étant pris à volonté entre B et E, menons AD et désignons respectivement par 2 R — a, 2 R — (3 les sommes des angles dans les triangles ABD, ADE. La somme des angles du triangle ABE sera 2R — a — [3; on aura donc

2R — a — [3 = R -t- AEB -h (R - HAE),

d’où

a h- (3 = HAE — AEB ;

mais, chacune des parties du second membre pouvant devenir moindre

GÉOMÉTRIE NON EUCLIDIENNE

que toute quantité donnée, on a « + 6 = o, et, par suite, a = o, (3 = o, puisque a et (3 ne peuvent être négatifs. c. q. f. d.

5e II résulte des propositions précédentes que deux hypothèses sont seules possibles :

Ou bien, dans tous les triangles rectilignes, la somme des angles est égale à deux angles droits ; alors l’angle de parallélisme est toujours droit, et par un point quelconque on ne peut mener qu’une parallèle à une droite.

Ou bien, dans tous les triangles rectilignes, la somme des angles est inférieure à deux angles droits; alors, par un point quelconque, on peut mener deux parallèles à une droite, et l’angle de parallélisme, toujours aigu, varie avec la distance du point à la droite.

La première hypothèse sert de fondement à la Géométrie ordinaire ou euclidienne. La seconde peut être également admise sans conduire à aucune contradiction; elle est la base de la Géométrie non euclidienne que Lobattcheffsky a établie, jusqu’au développement complet des équations entre les côtés et les angles d’un triangle, soit rectiligne, soit sphérique, compose l’angle G et le côté c, on aura, en vertu des formules (i5), marche indiquée par M. Battaglini dans le Mémoire cité plus haut. Cela nous permettra d’ailleurs de retrouver d’abord par une autre voie la conception fondamentale de Lobattscheffsky relativement aux parallèles.

i° Pour ne pas laisser supposer de pétition de principe, il convient de montrer dabord qu’on peut établir la théorie des fonctions circulaires indépendamment de toute considération géométrique. Nous le ferons très brièvement en renvoyant pour les détails aux Traités d’Analyse.

Oh définit les fonctions circulaires d’une variable 2, réelle ou imaginaire, par les relations

cos z =•= 1 —

sinz

tan g z

i 1 .2.3 sinz

cos z

d’où résultent, en vertu de l’équation

qui sert de définition à la fonction exponentielle ez, la formule

(2) clz ~ cos z -F- i sinz,

XOTE II.

et, par suite, les expressions

cos z = - [elz c~~l z ) ,

sinz — — ; ( elz — e~lz ),

i tangz = - - «

b c^lz -+ i

On définit en outre le nombre n, indépendamment de toute interprétation géométrique, comme étant la plus petite racine positive de l’équation ciz = — i ; on a donc

d’où l’on voit, à l’aide de la formule (2), que les racines des équations cosz = o et sinz = o sont, pour la première, les multiples impairs, et pour la deuxième, les multiples pairs, d’ailleurs positifs ou négatifs, de

-• On conclut de là les expressions