COS

sinz =

dont la dernière donne, pour z

tc 2. 2. 4. 4. 6. 6. . .

d’où tc — 3 , 1415926....

Dès lors, les relations (3) donnent immédiatement les expressions connues du sinus, du cosinus et de la tangente d’une somme x +7, les relations fondamentales

sin2z h- cos2z = 1 ,

cosz — sin

cotz — tang

et d’une manière générale toutes les formules de la théorie des fonctions circulaires.

De la relation ei% — — 1 , on déduit e2/u = 1 et, par suite, e6z-+-2*) — eiz% La fonction exponentielle eiz admet donc la période n r, et il résulte alors des formules (3) que sinz et cosz admettent cette même période et que tangz admet la période tc.

La fonction u ■= ez est une fonction uniforme de z, en d’autres termes, à chaque valeur de z répond une valeur unique de u. Mais la réciproque n’est pas vraie; d’après la théorie des logarithmes, à une valeur réelle ou

GÉOMÉTRIE NON EUCLIDIENNE. 585

imaginaire de u, répondent pour z une infinité de valeurs données par la formule

(4) z = logp -h (&> h- 2/771 h',

p et oj désignant le module et l’argument de u , et la caractéristique log le logarithme népérien arithmétique. Toutefois, si l’on convient (ce que nous ferons toujours ici) de se borner à celle de ces valeurs que Cauchy a appelée valeur principale et qui n’est autre que celle qui résulte de la formule précédente dans l’hypothèse où l’on prend n == o et w compris entre — r. et n. on obtient ainsi une fonction bien déterminée

z log p H— w i .

c’est-à-dire telle que, à chaque valeur de u , ne répond qu’une valeur de z.

Enfin, pour rendre les formules plus claires et plus mnémoniques, nous introduirons les fonctions C(z), S(z), T(z), qu’on nomme /o«ctions hyperboliques relatives à la base l et qui sont définies par les relations

ek -h e k

d’où l'on déduit immédiatement les suivantes :

S( — z) = — S(z), C( — z) = C(z), T(— z) = -T(z), S(x +/) = S(x) C (r) h- S (7) C(jc).

C(.r-hj) = C(x) C(j) -f-S(\)S(j),

} S(z) - Md