VI \ S 1 2 1 (3 = Ô

Les fonctions hyperboliques n’ont qu’une période imaginaire. i° Cela posé, soient (Jig. 625), dans un plan, une droite L, un point p extérieur à cette droite, et o le pied de la perpendiculaire abaissée du point sur la droite; ni désignant un point quelconque de la droite L, et z étant la mesure du segment om par rapport à une unité de longueur arbitraire, à chaque position de ni répondra une valeur unique T(z); et réciproquement à chaque valeur de T(z) répondra une position unique de /;/, si l’on convient, comme nous l’avons dit, de ne considérer que la valeur principale des logarithmes.

NOTK II.

Imaginons maintenant une droite pm tournant autour du point /;, et désignons par G la mesure de l’angle opnp en prenant pour unité angu-

■ \ ième

j partie d’un angle droit. A chaque position de la droite pm

répondra une valeur unique de tangG; et, inversement, à chaque valeur de tangG répondra une position unique de la droite, car, lorsque la droite reprend la même position après avoir tourné de deux angles droits, G a augmenté de la valeur numérique de deux angles droits, c’est-à-dire de-r: d’après l’unité angulaire adoptée, et par suite tangG reprend la même valeur.

Or, dans chacune de ses positions, la droite pm , tournant autour de p, coupe la droite L en un point unique m (réel ou imaginaire). Donc les fonctions T (3) et tangG sont telles qu’à chaque valeur de l’une répond une valeur unique et bien déterminée de l’autre, ce qui, d'après la théorie des fonctions, exige qu’il existe entre elles une relation de la forme

AT(3) tangG h- BT ( z ) -+- C tangG -+- D — o.

On voit immédiatement que D est nul, puisque, lorsque le point m est à l’origine o, z et G et, par suite, T(z) et tangG s’annulent simultanément. D’autre part, soient r un point pris à volonté sur L, z0 son abscisse or, et G0 l’angle opr\ en appliquant successivement la formule précédente, au cas où le point ni est d’abord en r, puis au point r' symétrique de r par rapport à l’origine, on a

AT(z0) tangG0 -h BT(z0) -+- C tangG0 = o,

AT (z0) tangG0 — BT(z0) — C tangG0 = o;

d’où l’on conclut, par addition et soustraction,

tangG0 ’

de sorte que la relation entre T(z) et tangG prend la forme

ou bien

en posant (7)

T ( 3 ) tangG

: - T- — const.

tangGo

tanv G

tangA

tangGo

La signification géométrique de A est remarquable, il résulte des formules ( 5 ) que T ( z ) est égal à h- 1 pour z = - 4- co et à — 1 pour z = — ce .

géométrie non euclidienne.

-t )onc A et — A sont les valeurs de G pour z = -+- co et z = — » , d’où l’on I- îonclut que : parun point p extérieur à une droite h, on peut mener deux Iroites pu et pu' rencontrant L à Vin fini; ces deux droites forment avec la )erpendiculaire/Jo, de part et d’autre, un angle A donné par la formule (7). r En général, si l’on considère une droite quelconque pm passant par p ) )t définie par l’angle opm = 0, on aura l’abscisse z du point m où elle 1 ioupe L en résolvant, par rapport à z, l’équation (6), c’est-à-dire l’équa- ,ion

(>k — c * __ tangG

i s tangA5 eh -+- e k

qui donne, pour G < A, la valeur réelle

I/. , tangA -+- tangG

— Ino* —

‘ jl G tangA — tangG

et, pour G > A, la valeur imaginaire

k , tangG -h tangA / .

/ = log - ^ - 1 - l~.

•j. tangG — tang^ x

On retombe ainsi sur la conception fondamentale de Lobattcbeffsky : les droites passant par p se divisent en deux classes, les sécantes (situées dans l’angle upii) et les non-sécantes (extérieures à cet angle), séparées les unes des autres par deux parallèles pu et pu'.

A est l’ angle de parallélisme relatif au point p ; la formule (7) montre qu’il dépend de la distance S — po. Nous poserons

tangA ‘

et la formule fondamentale (6) deviendra

(8) T(z) = ?(£) tangG.

La même formule (7) montre d’ailleurs que A devient droit, quel que soit S, lorsque T(zu) =0, c’est-à-dire en vertu de la dernière formule (5) lorsque A = c© ; alors les non-sécantes disparaissent et la parallèle est unique; c’est le cas de la Géométrie euclidienne; la formule fondamentale (6) doit alors être remplacée par

tan g G0

tangG,

attendu que le rapport ,

rtzo)

vient infini.

a pour limite — lorsque le paramètre /ede-

NOTE n.

i° Considérons d’abord un triangle ABC, rectangle en C; nous désignerons comme à l’ordinaire ses angles par A, B, C, et les côtés opposés respectivement par <7, b, c.

On aura, en vertu de la formule (8),

(9) T(«) = <p(6)tangA, T [b) = <?[a) tangB ;

y/ T ( a)'1 -f- y (b)2 )2 -+- çp ( b)2 -+- S (a)2 f(b)2

[/T (b)2 -+- f(a)2 \/S(ô)2 -h cp(«)2 h- S (b)2 f(a)2

!sin A =

sin B =

Mais, quel que soit C, sin A = o entraîne a = o, sin B = o entraîne b = o, et sin A = i entraîne a — c, sin B = i entraîne b —c\ sin A et sin B doivent donc être de la forme

sin A =

sin B =

et comme r, et par suite /(c), doit être une fonction symétrique de a et de ô, il faut, pour satisfaire à ces conditions, prendre

(11) f(«) = T(«) =/(«), î(4) = T(6)=/(i), ou bien

Les relations (n) répondent à la Géométrie euclidienne. — En effet, de ces équations combinées avec (9) et (10), on déduit d’abord

sin A = cos B — sin B = cos A =

T(cq ’

T(c)2 = T(rt)2 h- T(è)2.

Puis, si l’on désigne par a et (3 les segments, respectivement adjacents à A et B, que la perpendiculaire abaissée du sommet C de l’angle droit détermine sur le côté opposé c , on aura, en vertu de ces relations (i3),

Tfôl2 T(a\2

T(*) = T(A)cosA = -îi7i, T(P) = X(«)cosB = t^,

GÉOMÉTRIE "JN EUCLIDIENNE

Cette dernière équation entraîne

ou, en vertu de (5),