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on trouve : pour le premier groupe,
sinA~sinB sinG
et
1 — cos2 A — cos2 B — cos2 C -h 2 cos A cos B cos C = o ; pour le deuxième, la formule
a~ — b- c1 -1- 2 bc cos A et ses analogues; enfin, pour le troisième,
cos A = cos ( B -+- C )
et ses analogues.
i° La Trigonométrie sphérique est aussi indépendante du postulation d’Euclide ; elle reste la môme, que la somme des angles d’un triangle rectiligne soit égale ou inférieure à deux angles droits.
Au point où nous en sommes, quelques mots suffiront pour le montrer. Considérons ( fig . 63 1) un faisceau de droites pm issues d’un point p dans un plan P, et une droite pl extérieure à ce plan; po étant la pru-
Fig. 63i.
jection de pl sur le plan P, désignons par 0 l’angle variable opm, et par V le dièdre correspondant formé par les plans //?o, Ipm ; pr étant un rayon fixe déterminé par un angle donné 0O, et Y0 désignant l’angle dièdre correspondant formé par les plans //?o, Ipr , on voit par un raisonnement analogue à celui du § III, 20, qu’on a
en posant
tangG =
tangA
tan g V,
tangVo
tangA
tang0o
ISO TE II.
L’angle A est une fonction de l’inclinaison 8 = opl de la droite pl sur le plan P ; en posant
tangA
et raisonnant comme au § IV, d’abord pour le trièdre dont un dièdre est droit, puis pour un trièdre quelconque, on arrive pour les trièdres ou pour les triangles sphériques à des formules qui ne sont autres que les formules (17) dans lesquelles on aurait remplacé <7, ô, c par ika, ikb , ikc. Mais la comparaison des formules (1) et (5) montre que
S(ikz) — I sinz, C(/Æz) = cosz.
On aura donc pour les triangles sphériques
sin2<? sin2Æ sinV
sin2A sin2B sin2ü’
cos<7 = cos b cos c — sinô sine cos A,
cos A = cos B cosC — sinB sinC cos fl,
On reconnaît les formules ordinaires, sauf le signe du second terme dans le deuxième membre de la seconde formule, ce qui tient à ce que nous avons fait entrer ici (IV, 20) les angles extérieurs.
Il résulte de ce qui précède que les relations métriques des figures planes dépendent d’une longueur /c, qui ne peut être déterminée a priori; mais si ce paramètre k doit rester indéterminé au point de vue purement logique et abstrait., il n’en est plus de meme quand on arrive à la pratique; il faut alors le fixer, et il n’est pas d’autre moyen pour cela que de recourir à l’observation. Une seule expérience suffit; elle consiste à mesurer les éléments d’un triangle et à porter leurs valeurs numériques dans l’une des équations (17) ou dans une de leurs conséquences; on aura ainsi une équation numérique d’ou l’on tirera la valeur de k. Or tout essai de ce genre conduit à une valeur de k tellement grande qu’elle dépasse tout ce que nous pouvons mesurer. On est donc ramené dans la pratique à la Géométrie euclidienne, qui, comme nous l’avons vu, répond à k — co .
On peut dire encore, pour rendre la chose peut-être plus sensible, que, d’après les formules (17), la somme des angles d’un triangle diffère d’autant plus de deux droits que les côtés du triangle sont plus grands;
GÉOMÉTRIE NON EUCLIDIENNE. 5q3
si donc il existait dans la nature un écart entre la somme des angles d’un triangle et deux angles droits, c’est dans les plus grands triangles que l’écart se manifesterait le mieux ; or on a constaté par de nombreuses observations astronomiques que, dans les plus grands triangles, l’écart n’atteignait jamais un centième de seconde. La Géométrie pratique est donc la Géométrie euclidienne, et il faut admettre le postulatum comme une vérité expérimentale.
Nous avons supposé jusqu’ici que la distance de deux points était une grandeur qui peut croître indéfiniment; on pourrait, avec Riemann, supposer que cette distance a une limite supérieure, et l’on ferait alors sortir de là un troisième système de Géométrie qui, comme la Géométrie de Lobattcheffsky, se réduirait à la Géométrie euclidienne, pour une valeur particulière attribuée à un paramètre; mais, pour ne pas dépasser le but, nous renverrons, sur ce sujet, aux travaux déjà cités de M. de Tilly et de M. Klein.
R. et de C. — Tr. de Géom. (IIe Partie).
NOTE III (')
