Soit A1A2A3A4 le tétraèdre fondamental

Désignons par 5-1, sz,s3, les aires des faces; par «2) «3 les arêtes A2A3, A3 Ai, Ai A2 ; par <?4, a$, a$ les arêtes A4 Ai, A4A2, A4A3; par ock le dièdre compris entre les deux faces qui ont l’arête commune ak.

Les coordonnées normales d’un point M sont des équimultiples quelconques de ses coordonnées tétraédriques xu x2, x3 x4 (962); celles-ci portent aussi le nom de coordonnées normales absolues .

Les coordonnées bar/centriques de M sont des nombres £3, £4

proportionnels aux volumes des tétraèdres MA2A3Ai, MA3 A4 A1} MA4A1A2, MAiA2A3, ces volumes étant affectés des mêmes signes que les coordonnées normales correspondantes. Appelons Ma le point de rencontre du plan sk avec la droite AaM, et mk le point d’intersection de l’arête ak avec le plan mené par M et par l’arête opposée à ak. On démontre facilement les relations

A2/Hi Ç3 M/Wl Çl ■+" Ç4 MM4 Ç4

A3 r/li £2 ’ M/«4 Ç2 + Ç3 ’ A4 M4 Çl -h Ç2 H- Ç3 ’

Il résulte de là que M est le centre des distances proportionnelles des points A1: A2, A3, A4 pour les coefficients Jji, £2, £3, (710).

Les coordonnées d’un plan X sont des nombres Xi5 X2, X3, X4 proportionnels aux distances des sommets de tétraèdre A1A2A3A4 à ce plan, ces distances étant précédées du signe -h ou — d’après une règle connue (709). Soient /2, ■ • • les points où X coupe les arêtes au «2, • . . ; on a

Ai 4 Xj A4 4 X 4

(') Dans cette Note, qui est le complément naturel de la Note 111 de la première Partie, les renvois se rapportent au texte du Traité et à celui de la Note elle-même; pour éviter toute ambiguïté, nous ferons précéder ceux qui visent les Numéros de cette dernière de la lettre N.

NOTE III