POINTS ET PLANS HARMONIQUEMENT ASSOCIÉS

THÉORÈME

2. Si deux tétraèdres AiA2A3A4, Aj A'2 A3 A4 sont tels que les droites joignant les sommets homologues concourent en un meme point S, les droites rf2, dZ) r/4 suivant lesquelles se coupent les faces homologues sont situées dans un même plan a.

En effet, deux arêtes homologues étant situées dans un même plan ont un point d’intersection. Soient Bi, B2, • • . , B6 les points où les arêtes du premier tétraèdre sont rencontrées par les arêtes homologues du second. La droite dh contient les points Bi , B2, B3; la droite cl\ passe par les points Bl5 Bg, BG. Ces lignes ont un point commun B! ; donc elles sont situées dans un même plan a avec les droites d2, d3, qui joignent les points B2 et BG, B3 et B5.

La démonstration de la réciproque ne présente pas de difficultés.

Les deux tétraèdres AiA2A3A4, B(B2B3B4 sont dits homologiques , S est le centre d’homologie, a est le plan d’ homologie (938).

3. Étant donnés un tétraèdre AiA2A3 44 et un point M, appelons p./r le plan mené par M et l’arête aj:, et v/c, le plan conjugué harmonique de [ Xk par rapport au dièdre a/£ du tétraèdre; ces plans coupent l’arête opposée en deux points que nous désignons par les lettres m, n affectées de l’indice propre à cette arête. La droite A*M rencontre le plan Sk en un point M*.

Les trois plans p4, p-5, |jlg se coupent suivant la droite A4M, et les plans vl5 v2, v3 rencontrent cette droite au conjugué harmonique N4 de M par rapport à A4M4. Si jj1} ç2, ç3, £4 sont les coordonnées normales ou barycentriques de M, celles de N 4 sont ^ 5 Ëi) Ë3> — Ë4*

Les plans ;j.,, p4 se rencontrent suivant la droite B4Bl5 qui passe par M. Les plans v4, s%, p.2, v2 formant un faisceau harmonique, déterminent sur mym^ une division harmonique m1m4MN/1. Les plans v3, v g , v6 passent également par Nj . Les coordonnées de ce point sont —

Nous désignons par Ni, N2, N3, N4 les conjugués harmoniques de M par rapport aux segments AiM1} A2M2, A3M3, A4M4; par N j , N2, N3 les conjugués harmoniques do M par rapport aux segments m1m4, /?22/??5, m3m6. Le Tableau suivant indique les coordonnées de ces points, les plans menés par ces points et les arêtes du tétraèdre, et les droites qui passent par ces points en s’appuyant sur deux arêtes opposées du

GÉOMÉTRIE DU TÉTRAÈDRE. 697

tétraèdre :

• pi)

) Pi)

Pô)

mk,

m3 ra6 ;

li»

Nl-

• Vi,

Pi)

nii

— Si»

• Pl)

pô)

màn3 ;

-tu

• pl)

Vi,

Vô)

• Pl)

Vi,

— Si

Ni-.

• Pl)

pi)

Vô,

-tu

• Vi,

Vi,

Pô)

— tu

• Vi,

Vi,

— tu

4. Les droites AjWi, A 2m2, A3ra3 concourent en M4; par conséquent, les points «1, n2, ;?3, conjugués harmoniques de m2, m3 par rapport à A 2 A 3 , A3Ai, A]A2, sont situés sur la polaire de M4 par rapport au triangle AiA2A3. Pareillement, les triples de points (ni, n3, n6), ( n2 , «4, n6), (/?!, «4, «5) sont situés sur les polaires des points Mi,M2, M3 par rapport aux triangles A2A3A4, A3A4Ai, A4AîA2. Ces quatre polaires ayant deux à deux un point commun sont situées dans un même plan X, qu’on appelle plan polaire de M par rapport au tétraèdre AiA2A3A4. Les six points n\ , n2, n3, nk, n3, n& sont les sommets d’un quadrilatère complet, dont les diagonales se coupent aux points Nj, N2> N'3. Les coordonnées du plan X sont inversement proportionnelles aux coordonnées barycentriques du point M.

Les deux tétraèdres AiA2A3A4, NiN2N3M présentent cette particularité que deux arêtes opposées quelconques de l’un, par exemple, AiA2 et A3 A4 , sont partagées harmoniquement par les deux arêtes correspondantes N^Nj, N3 M de l’autre tétraèdre. On en déduit que chacun de ces tétraèdres est autopolaire par rapport à l’autre, c’està-dire que chaque sommet de l’un des tétraèdres est le pôle de la face opposée par rapport à l’autre tétraèdre. Ces tétraèdres sont homologiques; Ni est leur centre d’homologie, N2N3N4 est leur plan d’homologie.

Le tétraèdre NiN2N3N4 est également autopolaire par rapport à A!A2A3A4; ces deux polyèdres ont M pour centre d’homologie, et leur plan d’homologie est N'j N'2 N3.

Pour d’autres propriétés intéressantes de la figure, nous renvoyons à un article de M. Stephanos Cyparinos ( Bulletin clés Sciences mathématiques et astronomiques , 1879, p. 4 34 )•

Les tétraèdres A!A2A3A4, MiM2M3M4 ont également pour centre d’homologie le point M, et pour plan d’homologie le plan NiN2N3.

NOTE III

SECTIONS ANTIPARALLÈLES d’üN TÉTRAÈDRE.

RAYON DE LA SPIlÈRE CIRCONSCRITE.

3. Désignons par O et R le centre et le rayon de la sphère circonscrite au tétraèdre A1A2A3A4, et par BiB2B3B4 le tétraèdre formé par les plans tangents menés en Ai, A2, A3, A4 à la sphère O {Jig. 1 ).

Si ün plan parallèle au plan B^Bs coupe les arêtes A4 Aj, A4 . A2, A4A3 aux points Pj, P2, P3, nous dirons que le triangle PiP2P3 est une section antiparallèle du tétraèdre. Les côtés de ce triangle sont parallèles aux tangentes menées en A* aux circonférences A4A2 A3, A4 A3Al5 A4AiA2;

Fig. j.

par conséquent, les six points Ai, A2, A3, Pl5 P2, P3 sont situés sur une même sphère, et l’on a

( 1 ) A4 Pi . <?4 = A4 P2 . a$ = A 4 P3 . a§ = p ,

p étant la puissance de cette sphère par rapport à A4. On démontre faci-

lement les relations

GÉOMÉTRIE DU TÉTRAÈDRE

P2P3 = Papi = Pl P» = P

(> 1 ((\ ({î « O a3a3 aS a 6

Donc les côtés d’une section antiparallèle menée dans l’un quelconque des quatre trié cires cl’un tétraèdre sont proportionnels aux produits des arêtes opposées du tétraèdre.

Remarquons aussi que la forme des sections antiparallèles d'un tétraèdre ne change pas quand on soumet les sommets du tétraèdre à une transformation par rayons vecteurs réciproques.

Les circonférences circonscrites aux triangles AiA2A3, P1P2P3 appartiennent à un meme cône C4, ayant son sommet en A4 (878); les plans tangents menés par les arêtes A4Al5 A4A2, A4A3 de ce cône forment un trièdre circonscrit tel, que les plans menés par les arêtes de ce trièdre, et respectivement par A4Ai, A4A2, A4A3, se coupent suivant la même droite. Il résulte de là que les centres des symédianes des triangles A j A2 A3 , PiP2P3 sont sur une même droite passemt par A4.

Enfin, rappelons que le centre du cercle circonscrit au triangle PiP2P3 est sur la droite A4B4 (880).

6. La considération d’une section antiparallèle conduit aisément à l’expression du rayon de la sphère O. En effet, si D, D' sont les points où le rayon A40 coupe le plan PiP2P3 et la sphère O, on a

Soient Y, V' les volumes des tétraèdres A4PjP2P3, A4AiA2A3; l’on a ( Exercice 616)

y; = a4PlA4 p2.a4p3.

V «4 as rtfi *

d’où, en remplaçant A4Pl7 A4P2, A4P3 par leurs valeurs tirées de (1),

«4 aï «G

Désignons par T l’aire du triangle dont les côtés ont pour valeurs numériques «1^4, a2a3, a3a6; à cause des égalités (2),

aire PiP?P3 — —r~i — 1 T; * al a\ a\

V'= q PiP2P3. A4D =

3 al a\ al

par suite,

(5oo

NOTE III

Égalons les deux valeurs de Y' et remplaçons p par 2R.A4D; il vient

6RV = T.

Cette démonstration est duc à von Standt {Journal de Crelle, t. 57,