POINTS INVERSES
THÉORÈME
7. Soit [xjc le plan mené par un point donné M et par V arête aide tétraèdre Ai A2A3A4, et soit v^. le plan symétrique de \Xk par rapport au plan bissecteur du dièdre du tétraèdre : i° les plans vl5 v-2, . . . passent par un même point N ; 20 les coordonnées normales de N sont inversement proportionnelles à celles de M; 3° les projections (Mi, M2, M3, M4), (Ni, N2, N3, N4) des points M et N sur les faces du tétraèdre AiA2A3A4, sont huit points d’une même sphère ; 4° les deux pentagones complets MAiA2A3A4, NNj N2 N3N4 sont tels, que la droite joignant deux sommets de V un est perpendiculaire au plan passant par les sommets non homologues de Vautre polygone.
Appelons Q le centre de la sphère M!i\l2M3M4, N le symétrique de M par rapport à Q, et Ni, N2, N3, N4 les projections de N sur les faces du tétraèdre A!A2A3A4. Comme Q se projette au centre du petit cercle suivant lequel le plan Sk coupe la sphère Q, MaM est un diamètre de ce cercle. Donc les points N1? N2, . . . appartiennent à la sphère Q.
La droite MM* coupe cette sphère en un point N* symétrique de N/tpar rapport au centre Q; par conséquent, NN/- = N /AI. Or
mMlMn; = mm2.mn'2 = mm3.mn'3 = mm4.mn; ;
donc les coordonnées normales de M sont inversement proportionnelles à celles de N. Il résulte de là que les plans M a/t.. N au sont symétriques par rapport au dièdre a#.
Les droites NNq, NN2, NN3, NN4 sont déjà perpendiculaires aux plans A2A3A4, A ! A3 A4 , A ! A 2 A 4 , A] A 2 A3 . Le plan NNiN2 est coupé, par la droite A3A4 en un point L, et par le plan MA3A4 suivant la droite L'L, isogonale de L'N par rapport à l’angle NiLN2; donc la droite NiN2 est perpendiculaire à la droite LL’ et, par suite, au plan MA3A4 qui est mené par LL’ perpendiculairement au plan NNtN2. Les droites NjN2, NiN3 étant perpendiculaires aux plans MA3A4, MAiA4, le plan NiN2N3 est perpendiculaire à la droite MA4.
SCOLIE
8. i°Les points M, N sont des points inverses par rapport au tétraèdre
GÉOMÉTRIE DU TÉTRAÈDRE
Ai A 2 A3 .4^. Ce sont les foyers d’une surface de révolution du second ordre, touchant les faces du tétraèdre. En effet, construisons, dans un plan quelconque mené par MN, la conique ayant pour foyers les points M, N et pour axe principal le diamètre de la sphère Q qui est dirigé suivant MN ; cette courbe, en tournant autour de la droite MN, engendre une surface de révolution S. La sphère Q est le lieu des projections des foyers M, N sur les plans tangents à S. Réciproquement, le plan s&, perpendiculaire à la droite MM*, aboutissant à un point Ma de la sphère, touche la surface S.
20 Lorsque le point M est à l’infini, on a le théorème suivant :
Par les arêtes cl’un tétraèdre A1A2A3A4, on mène des plans parallèles à une même droite d ; les sy métriques de ces plans par rapport aux plans bissecteurs des dièdres correspondants du tétraèdre passent par un même point N, dont les projections sur les faces du tétraèdre sont situées dans un même plan 0 perpendiculaire à d . Ce point est le foyer cl’un paraboloïde de révolution touchant les quatre faces du tétraèdre et le plan 0 ; les diamètres de cette surface sont parallèles à d.
Le plan 0 offre quelque analogie avec la droite de Simson d’un point de la circonférence circonscrite à un triangle. Mais nous faisons remarquer que le lieu de N n’est pas la sphère circonscrite au tétraèdre AiA2A3A4; ce lieu est une surface du troisième ordre.
TÉTRAÈDRES ET PENTAGONES ORTÎIOLOGIQUES.
9. Si deux tétraèdres Ai A2 A3 A4, Ci C2 C3C4 sont tels, que les perpendiculaires abaissées clés sommets du premier sur les faces opposées du second concourent en un même point S, les perpendiculaires abaissées des sommets du second tétraèdre sur les faces opposées clu premier concourent également en un même point C.
Voici trois figures où ce théorème s’aperçoit immédiatement :
i° Soit D le point inverse de A par rapport au tétraèdre AiA2A3A4, et soient D], D2, D3, D4 les projections de D sur les faces de ce tétraèdre.
20 Appelons O, Oj, 02, 03, 04 les centres des sphères circonscrites aux tétraèdres AiA2A3A4, AA2A3A4, AAiA3A4, AA|A2A4, AAiA2A3.
3° Transformons le tétraèdre AiA2A3A4 par polaires réciproques en prenant une sphère directrice, de centre A; soit E!E2E3E4 le tétraèdre ainsi obtenu. Les tétraèdres DiD2L)3l)4, 0i020304, EiE2E3E4 ont leurs faces perpendiculaires aux droites AAi, AA2, AA3, AA4 et, par suite, sont homothétiques à CiC2C3C4; il résulte de leur construction que les perpendiculaires menées par leurs sommets sur les faces correspondantes du tétraèdre AiA2A3A4 concourent en un même point D, O ou A.
SCOLIE
10. i° Les tétraèdres A1A2A3A4, C1C2C3C4 sont dits orlhologiques ; les points A, G en sont les métapôles.
Les pentagones complets AA1A2A3A4, G Ci C3C3C4 jouissent delà propriété qu’w/i côte quelconque de l’un d’eux est perpendiculaire à la face opposée de l’autre; par exemple, le côté A3A4 est perpendiculaire au plan CCiC2; les pentagones peuvent, également, être appelés orlhologiques.
2.0 Les distances d’un sommet du premier pentagone aux autres sommets sont inversement proportionnelles aux distances du sommet homologue du second pentagone aux faces non adjacentes de ce polygone. Cette propriété se voit immédiatement si l’on prend pour C1C2C3C4 le tétraèdre désigné ci-dessus par D!D2D3D4 ou E1E2E3E4.
3° Deux côtés correspondants A 1 A 2 , G] C2 de deux pentagones orthologiques sont divisés dans le meme rapport par les faces opposées AA3A4, CC3C4.
En effet, appelons a le point de rencontre de Ai A2 avec le plan AA3A4, c celui de CiC2 avec le plan CC3C4, et soient a\ c' les points situés à l’infini sur AiA2, CiC2. La droite Aa, intersection des plans AAtA2, A A3 A4 qui sont perpendiculaires aux droites C3C4, CiC2, est perpendiculaire au plan C3C4 b'. Par conséquent, le faisceau des plans C3C4C!, C3C4C2, C3C4C, C3C4 c' a même rapport anharmonique que le faisceau des droites AA2, AA1? A a', A a qui sont perpendiculaires à ces plans. Si l’on coupe ces faisceaux par les transversales CiC2, AiA2, on obtient
( Ci C2 ce ) — ( A2 A 1 a a')
ou
a Ai — — •
a Ai
Il résulte de là que deux sommets correspondants de deux pentagones orthologiques ont, respectivement , mêmes coordonnées barycentriques dans les tétraèdres formés par les autres sommets.
POINT INVERSE DU CENTRE DE GRAVITE d’üN TETRAEDRE.
11. Soient xu x2, x3 , xw les coordonnées normales absolues d’un point L par rapportai! tétraèdre A1A2A3A4. On a l’identité
( X j -f- X '2 -h X | H- X | ) ( A f -4- A £ H- S ij —h S j ) — ( S 1 .27 1 .<'2 X 2 —h S 3 X3 — H S 4 xj) 2
— (^1^2 S 2^1 )2 -f- ( Ai X3 A3 X \ )2 -f- ... -h (A3 ^'4 - A4 X3 )2.
Le second membre de cette égalité se réduit à zéro, lorsque
Al A2 A3 A4
GÉOMÉTRIE DU TÉTRAÈDRE
et la quantité si aq h- a2.t2 + s3.r3 -+- a la valeur constante 3 V ; par conséquent, le minimum de la somme <r = x\ -+- xl -h x\ -+- ,rf correspond au point L dont les coordonnées normales sont proportionnelles aux aires des faces du tétraèdre. Les coordonnées du centre de gravité G étant égales aux quarts des hauteurs /q, //2, h3, //4, L est l'inverse de G par rapport au tétraèdre; il est le centre de gravité du tétraèdre qui a pour sommets les projections de L sur les faces de Aj A2 A3à4 (N., 10, 3°).
Pour le minimum cherché,
Le point L rappelle, par quelques-unes de ses propriétés, le centre des symédianes d’un triangle; mais l’analogie entre les deux points est loin d’être complète.
QUADRUPLES I1VPERBOLOÏDIQUES.
LEMME
12. Étant données quatre droites £q, g2) g3 , g!t, non situées deux ci deux dans un même plan , il existe, en général, deux droites s’appuyant sur ces lignes; mais, si l’on peut assigner trois droites s’appuyant sur gi, gif g3, g 4, il en existe une infinité.
Cette proposition résulte du n° 1212; en voici une démonstration directe. Soit A un point quelconque degq ; les plans g% A, g3 A se coupent suivant une droite II s’appuyant sur gu °2, g3: et ils rencontrent gq en deux points B, C, qui sont généralement distincts. Lorsque A parcourt gi , les plans g-2 A , g-3A engendrent deux faisceaux homographiques; par conséquent, les points B, C marquent sur g4 deux divisions homographiques. Soient E, F les points doubles de ces divisions; les plans g2E, g3E se coupent suivant une droite rencontrant gi,g2,g3, g 4, et il en est de même des plans g2F, g3 F.
Si, dans trois positions de A, les points B, C se confondent, ils coïncident constamment (1104), et toute droite s’appuyant sur g 1, g2, g3 rencontre également gv
13. Dans la dernière hypothèse, la droite II engendre un hyperboloïde ou un paraboloïde, dont gi, g2, g3, g 4 sont des génératrices du second mode. On dit alors que gq, g2, g3, g4 constituent un quadruple hyperboloïdique ou, plus simplement, que ces droites sont hyperboloïdiques .
De tels systèmes de quatre droites se présentent fréquemment dans
la Géométrie du tétraèdre ; ils y remplacent les triples de droites concourantes de la Géométrie plane.
Soient Pi, P2, P3, P4 quatre points pris dans les plans des faces ,vi, s2, .v3, s 4 d’un tétraèdre Ai A2A3A4. Pour que les quatre lignes AjPi, A2P2, A3P3, A4P4 soient hyperboloïdiques, il suffit de trouver trois droites qui les rencontrent. Par exemple, par le point A4 de l’une de ces lignes, il doit passer une droite s’appuyant sur les trois autres, ce qui exige que les plans A4A1P1, A4A2P2, A4A3P3 se coupent suivant une même droite ; ou que les droites A4Pj, A4P2, A4P3 rencontrent A2A3, A3Ai, AiA2 en des points pu p2, p-i tels, que les droites Ai/?i, A 2p2, A 3p3 concourent en un même point. De même, les plans A1A4P4, AiA2P2, AiA3P3 doivent se couper suivant la même droite, etc.
Désignons maintenant par pl5 p2,p3,p4 quatre lignes hyperboloïdiques, situées dans les faces du tétraèdre AiA2A3A4. Le plan AiA2A3, mené par pk) coupe p 1, p2, p3 en trois points d’une même droite; autrement dit, les droites pi, /?2 , Pi rencontrent A2A3, A3Ai, AiA2 en trois points qui sont en ligne droite. Une semblable condition doit être remplie par trois faces du tétraèdre.
Applications.
14. i° Les droites qui joignent les sommets d’un tétraèdre aux centres des cercles inscrits aux faces opposées sont hyperboloïdiques . ( Exercice 575, p. 5i3.)
•2° Soit B1B2B3B4 le tétraèdre formé par les plans tangents menés par les sommets du tétraèdre AiA2A3A4 à la sphère circonscrite, et soient Ki, K2, K3, K4 les centres des symédianes des faces de Ai A2 A3A4.
Si le plan AiA2A3 coupe les droites B4B1, B4B2, B4B3 aux points Ci, C2, C3, les côtés du triangle CiC2C3 touchent en Ai, A2, A3 la circonférence circonscrite au triangle AjA2A3; donc les plans B4B1A1, B4B2A2, B4B3A3 se coupent suivant la droite joignant B4 au centre des symédianes de AiA2A3. Par conséquent, les droites A 1 Bi , A2B2, A3B3;, A4B4 sont des génératrices d’un meme mode, et les droites B1K1, B2K2, B3K3, B4K4 sont des génératrices de l’autre mode d’un hyperboloïde.
3° Le plan B!B2B3 rencontre les côtés du triangle A!A2A3 en trois points Di, D2, D3 qui sont les conjugués harmoniques, par rapport à ces côtés, des points où aboutissent les symédianes A4Kl5 A4K2, A4K3; on conclut de là que les plans A4A1K1, A4A2K2, A4A3K3 se coupent suivant une même droite. Par suite, les droites A1K1, A2K2, A3K3, A4K4 sont hyperboloïdiques .
4° Appelons du ch, cl3, dk les intersections des faces homologues des tétraèdres Ai A2 A3 A4, Bt B2B3B4. Le plan B4B2 B3 rencontre le plan Ai A2 A3 suivant une droite C2C3 qui touche en Ci le cercle AiA2A3. Le point
GÉOMÉTRIE DU TÉTRAÈDRE
d’intersection Ej de C2C3, A2A3 appartient à la ligne ; mais les trois points analogues, situés sur les côtés du triangle AtA2A3, sont sur la polaire de Iv4 par rapport à AjA2A3. Donc les plans homologues clés tétraèdres AiA2A3 A4, BiB2B>B4 se coupent suivant quatre lignes hyperb o loï cliques.
THÉORÈME
15. Si les droites joignant les sommets homologues de deux tétraèdres AiA2A3A4, Et E2 E3 E4 sont hyperboloïdiques, les lignes d’intersection des faces correspondantes jouissent de la même propriété.
Soient Fi, F2, F3 les points de rencontre du plan A!A2A3 avec les droites E4El5 E4E2, E4E3. Par hypothèse, les plans E4E1Â1, E4E2A2, E4E3A3 passent par une même droite; donc les droites Ei A A, E2A2, E3A3 concourent en un même point. Les côtés homologues des triangles EiE2E3, AtA2A3 se coupent donc en trois points Gi, G2, G3 d’une même droite. Or, ces points appartiennent, respectivement, aux droites d’intersection des plans B4B2B3 et A4A2A3, B4B3B! et A4A3Ai, B4B[B2 et A4AiA2; donc la droite GiG2G3 s’appuie sur les quatre lignes suivant lesquelles se coupent les faces homologues des deux tétraèdres AjA2A3A4, Ri B2 B3 B4-
La réciproque de ce théorème est également vraie.
THÉORÈME
16. Soient (Pl5 Qj), (P2, Q2), (P3, Q3), (Pi, Qi) quatre couples de points inverses par rapport aux triangles clés faces du tétraèdre AiA2A3A4. Si les droites Ai Pj, A2P2, A3P3, A4P4 sont hyperboloïdiques, les droites A1Q1, A2Q2, A3Q3, A4Q4 le sont également.
En effet, prenons sur A4Ai, A4A2, A4A3 trois longueurs égales A4Nt = A4N2 = A4N3; les droites A4Pi et A4Q1? A4P2 et A4Q2, A4P3 et A4Q3 coupent, respectivement, les côtés du triangle NtN2N3 en des couples de points isotomiqucs. Par hypothèse, les plans A4Ai Pl5 A4A2 P2, A4A3P3 se coupent suivant une même droite, ou leurs traces sur le plan NtN2N3 concourent en un même point; on déduit de là que les traces des plans A4AiQi, A4A2Q2, A4A3Q3 sont également concourantes, ou que ces plans se coupent suivant une même droite.
