SPHÈRES TANGENTES AUX QUATRE FACES D’UN TÉTRAÈDRE
17. M. Hermary a fait connaître dans le Bulletin de la Société mathématique de France, t. VII, p. 1 38, une solution remarquable du problème de construire une sphère touchant les quatre faces (indéfinies) d’un tétraèdre Ai A2A3A4. Cette solution va nous donner un complément
NOTE III
de la discussion établie au n° 963 et quelques propriétés des points de contact des faces du tétraèdre avec les différentes sphères résolvant le problème.
Désignons par (jq, jj.2 , p-3 les plans bissecteurs intérieurs des dièdres (,y4, Sj), (s!t, s2), (s 4, s3), et par v1? v2, v3 leurs plans bissecteurs extérieurs. Il peut y avoir huit sphères touchant les faces du tétraèdre; leurs centres, indiqués par les lettres I, J, J' sont les intersections des plans suivants :
Ji . . . vl5 p.2, p-3 ; J2 . . . t1!, V2, [T3; J,... [J. 2, v3;
J 1 • • • H-Iî '^2 5 '^3 ) "1 2 * * * '^1 J ) '^3 ) •! 3 • • • 'O j V2 , [J-3 •
leurs points de contact avec le plan A!A2A3 seront dénotés par 14, J44,
Jl4, . . . , J i 4 , ....
Considérons (fîg. 2) l’une quelconque de ces sphères. Rabattons les
Fig. 2.
plans ji, s2 , s3 autour des arêles ah a3 sur le plan sk dans des
sens tels, qu’ils écrasent la sphère; leurs points de contact viennent coïncider avec le point de contact du plan y4 et, comme ils étaient à égale
GÉOMÉTRIE DU TÉTRAÈDRE. 607
distance de A4, le point de contact de sera le centre de la circonférence passant par les trois rabattements de A4 sur le plan A1A2A3.
D’après cela, nous décrivons dans le plan AiA2A3 trois circonférences ayant pour centres les points Ai, A2, A3 et pour rayons les distances Ai A4, A 2 A 4 , A 3 À 4 . Soient Di et Dj, D2 et D'2, D3 et D'3 les intersections de ces courbes deux à deux; ce sont les différents rabattements possibles du sommet À4 autour des arêtes al: <?2, a3. Si Di, D2, D3 sont situés du même côté de ces arêtes que les sommets opposés Ai, A2, A3 , les points de contact du plan A!A2A3 avec les sphères cherchées sont les centres des circonférences passant par les points suivants :
Di,
Jl4 - - • •
J44 . Di, Do, Di;
J24 • • • • Dl5 Dr2 , D3 ; J 2 4 • . • Di , D2, D^ ;
J34 . . • Di, D2, D'3 ;
Les droites DjDj, D2D'2, D3Di concourent en un même point II4, qui est la projection de A4 sur le plan AiA2A3. Comme
H4D1 . H 4 D i = H4D2 .H4Di = HiDs.fUDi,
les circonférences D^Da, Di D2 D'3 sont des lignes inverses par rapport au point H4, et leurs centres I4, J44 sont en ligne droite avec H4; cette dernière propriété résulte aussi de ce que les plans bissecteurs des dièdres A4Al5 A4A2, A4A3 du tétraèdre se coupent suivant une même droite passant par A4, I, J4. Les points I4, J44 sont des points inverses par rapport au triangle Ai A2A3; car les lignes A1I4, Ai J44, par exemple, sont perpendiculaires aux lignes D2D3, D'2D3 qui, étant antiparallèles par rapport aux droites D2Df2, D3D'3, le sont aussi par rapport à AiA3, AtA2. Cette proposition peut se démontrer directement; en effet, si X, Y, Z, X', Y', Z' sont les projections de I4, J44 sur A2A3, A3Ai, AiA2, les triangles II4X et X'J44J4, • • • sont semblables, d’où les égalités
I4X. J44X' = I4Y.J44Y' = I4 Z . J44 Zr — II4.J4J44,
de sorte que les coordonnées normales de J44 sont inversement proportionnelles à celles de l4.
Ainsi, les points I4 et J44, J 1 4 et Jj^, J24 et J24, J34 et J34 sont des points inverses par rapport au triangle AiA2A3; ils sont situes sur quatre droites passant par H4.
18. Les triples de points DiD2D3, Dj D2 D3, Dj D2D3, DiD2D3, DiD.2D3 sont toujours les sommets de triangles proprement dits; par conséquent,
les points I4, J44, Ju, J24, J34 sont à distance finie; la sphère inscrite et les sphères exinscrites existent toujours.
Si les points Dj, Dj, D3 sont situés en ligne droite (Jtg. 3), le point Jj4 se transporte à l’infini dans la direction perpendiculaire à DjDj, et nous dirons que la sphère Jj disparaît à l’infini. La circonférence DiD2Dj passe maintenant par H4 et son centre J3 est situé sur la circonférence circonscrite au triangle AiA2A3, à l’intersection avec la perpendiculaire
Fig. 3.
abaissée de II4 sur Dj Dj. Le triangle DiD2Dj est symétriquement semblable à AjA2A3. Le quadrilatère inscrit D1D2D/3Fl4 donne
D, D2 . H4 D j - Dj Dj . I-I4 D2 + D2 Dj . H4 Di ou, en remplaçant les côtés de D^Dj par ceux do AjA2A3,
Ai A2(C3D3 -+- C3Fl4) = Ai A3(C2D2 — C 2 H 4 ) -4- A2A3(Ci Di — Ci H4), d’où l’on tire aisément
Telle est la condition pour que la sphère Jj disparaisse. On peut lui donner d'autres formes. En effet, les angles DjD3Dj, DjD3Dj doivent être supplémentaires; mais, dans les deux circonférences ayant pour centres Ai, A2, ces angles inscrits et les angles aux centres DjAiDj, DjA2Dj sous-tendent des arcs ayant les mêmes extrémités. On conclut
GÉOMÉTRIE DU TÉTRAÈDRE
de là que la somme des angles plans composant les trièdres Ai, A2 du tétraèdre égale quatre droits, ou que, dans /e quadrilatère gauche At A;i A 2 A 4 , la somme de deux angles opposés égale celle des autres angles opposés. Observons également que le triangle D'2Di D3 est semblable à AiA2A4; l’angle D3D'2Di, par exemple, étant égal à la moitié de l’angle au centre D3 Aj D3 qui, dans la circonférence D3D'2D3, sous-tend le même arc.
La combinaison Di D'2 D3 conduit à une sphère inscrite dans le comble AtA2 ou dans le comble A3 A4, suivant que la droite Di D'2 passe ou non
entre les points D3, D3. La somme des angles D'3D3D'2, D'3D3Di est, respectivement, supérieure ou inférieure à deux angles droits et, dans le quadrilatère gauche AiA3A2A4, la somme des angles opposés à la dia- II. et de G. — Tr. de Géom. (IIe Partie). b 9
6io
NOTE III
gonale AiA2 est, respectivement, inférieure ou supérieure à celle des angles opposés à la diagonale A3A4.
19. Les deux sphères J2, J3 disparaissent à l’infini, lorsque les points D'l5 D2, D3 sont en ligne droite, ainsi que D'n D2, Ü3. Les deux circonférences Dj D2 D3, DiD2D3 (J%. 4) passent maintenant par 114 ; les points J24, J34 sont situés à l’intersection do la circonférence AiA2A3 avec les perpendiculaires abaissées de 114 sur les droites DjD3, Di D2, et la droite qui les joint est perpendiculaire au milieu de H4Di et, par suite, parallèle à A2A3.
Les deux triangles DiD2D3, D2 D3 sont symétriquement semblables à AiA2A3. Le triangle DjD2D3 est équiangle à chacune des faces A2AiA4, A3A4Ai; donc celles-ci sont égales entre elles, et
AiA2 = A3A4, AiA3 = A2A4.
Ainsi, deux sphères inscrites dans les combles disparaissent, lorsque le tétraèdre a deux couples d’arêtes opposées égales.
Le parallélipipcde circonscrit au tétraèdre AiA2A3A4 est droit et a pour base un parallélogramme obliquangle (p. 5a3, exercice 660). Parmi les trois droites joignant les milieux des arêtes opposées du tétraèdre (ces droites sont appelées médianes du tétraèdre), l’une est perpendiculaire sur les deux autres.
Fig. 5.
20. Les trois sphères J'15 J2, J3 disparaissent si les trois triples DiD2D3, DjDgDj, D;D2D'3 sont sur trois droites {Jig. 5). Alors les arêtes opposées A2A3 et Ai A4, A3 Ai et A2 A4, Ai A2 et A3 A4 sont égales, et les quatre faces du tétraèdre sont égales entre elles. Les points Ai, A2, A3
GÉOMÉTRIE DU TÉTRAÈDRE
■sont les milieux des côtés du triangle Dj D2 D3; les points Di, D2, D3 sont les pieds des hauteurs du môme triangle. Les points Ju, J24 , J34 sont les milieux des segments D3 II4, D'2 II4, D3 II4 compris entre les sommets du triangle Dj DjD'3 et son orthocentre IL; L est le centre du cercle AtA2A3, .144 est l’orthocentre du triangle AiA2A3.
Le tétraèdre particulier que nous venons de considérer a reçu le nom de tétraèdre équifacial. Le parallélipipède circonscrit est rectangle; les trois médianes sont perpendiculaires deux à deux et leur point de concours est à la fois le centre de gravité du tétraèdre, le centre de la ■sphère circonscrite et celui de la sphère inscrite. D’après ce que l’on a vu plus haut, les points de contact de la sphère inscrite avec les faces sont, les centres des cercles circonscrits à ces faces; les points de contact intérieurs des sphères exinscrites sont les orthocentres des faces ; enfin, les points de contact extérieurs des sphères exinscrites sont situés sur la sphère circonscrite au tétraèdre. Les centres des sphères exinscrites sont les symétriques des sommets du tétraèdre par rapport au centre de la sphère inscrite; ce sont donc des sommets du parallélépipède circonscrit au tétraèdre.
