La proposition (N., 14, 2°) peut être énoncée ainsi

Si une sphère touche les faces d’un tétraèdre Ai A2A3 A 4 aux points P] , P2, P3, l\, les droites Aj Pj , A2P2, A3P3, A4P4 sont des génératrices cl’un meme mode , d’un hyperholoïde ; les droites qui joignent les points P(, P2, P3, P4 aux centres des sy médianes des triangles P2P3P4, P3P4Pi, P4Pi P2, P1P2P3 sont des génératrices du second mode de la même surface.

De ce théorème et des nos (N., 16 et 17), on déduit que les droites AiJn, A2J22, A3J33, A4 J44, joignant les sommets d’un tétraèdre Ai A2A3A kaux points de contact des faces opposées avec les sphères exinscrites correspondantes, forment un quadruple hy p erboloïdique. Les droites AiJn, A2J32, A3.L23, A4j;4 jouissent de la même propriété.

SUR LES HAUTEURS ü’UN TÉTRAÈDRE.

22. Nous désignons ( fig . 6) par H1? II2, H3, II4 les projections des sommets du tétraèdre AiA2A3A4 sur les faces opposées.

Si deux hauteurs Ai IL, A2II2 se coupent en un point II, les arêtes AiA2, A3A4 sont perpendiculaires, et les hauteurs A3II3, A4II4 se coupent également en un point IP; les points II, H 'sont situés sur la plut courte distance MN des arêtes Ai A2, A3A4.

En effet, le plan Ai A2 II est perpendiculaire auxplansA2 A3A4, Ai A3A4 et, par suite, à leur intersection A3A4 (558, 561); donc AiA2, A3A4 sont rectangulaires. Réciproquement, si ces arêtes font un angle droit, on peut mener par Ai A2 un plan a perpendiculaire à A3A4, et ce plan con-

NOTE III

tient nécessairement les hauteurs Ai lit, A2H2 (521); de môme, le plan a' mené par A3A4 perpendiculairement à Ai A2 contient les droites A3H3, A4II4. Les plans a, a' se coupent suivant une droite MN, qui est la per-

Fig. 6.

As

pendiculaire commune à AiA2, A3A4; cette droite est une hauteur de chacun des triangles AiA2M, A3A4N.

On trouve facilement les égalités

d’où