MÉTHODE PAR INTERSECTION DE LIEUX GÉOMÉTRIQUES

168. La plupart des problèmes de Géométrie reviennent en dernière analyse à la détermination d’un point d’après certaines conditions. S’agitil, par exemple, de faire passer un cercle par trois points donnés? Il faut trouver le centre. Veut-on mener une tangente à un cercle par un point extérieur? On cherche le point de contact, etc. D’après cela, si on laisse de côté une des conditions données, les autres conditions ne suffiront plus pour déterminer un point unique, et il existera une infinité de points remplissant ces conditions et formant par leur ensemble un lieu géométrique auquel appartiendra le point cherché. En reprenant la condition délaissée, et faisant abstraction d’une autre, on aura un nouveau lieu géométrique qui rencontrera le premier au point demandé.

Ainsi, pour trouver le centre d’un cercle passant par trois points donnes A, B, C (154), on fait d’abord abstraction du point C, et l’on trouve pour le lieu des centres des circonférences passant par A et B la perpendiculaire élevée sur le milieu de AB ; puis, reprenant le point C et délaissant le point A, on trouve pour le lieu des centres passant par B et C la perpendiculaire élevée sur le milieu de BC. Ces deux perpendiculaires se coupent au centre demandé.

Dans le problème Mener une tangente au cercle O par un point extérieur A (157), le point de contact inconnu est déterminé par l’intersection de la circonférence O, qui est un premier lieu, et de la circonférenco décrite sur AO comme diamètre, qui est le lieu des points d’où l’on voit, comme du point de contact, la droite AO sous un angle droit.

Dans la recherche du segment capable d'un angle donne (162), la méthode des substitutions successives ramène d’abord la question à la recherche du centre d'un cercle passant par deux points donnés A et B, et langent en B à une droite donnée CBD; puis, en faisant tour à tour abstraction de la tangente CD et du point A, on trouve deux lieux rectilignes EO et BO qui se coupent au centre cherché.

La méthode par intersection de lieux géométriques, due à l’école de Platon (43o-347 av. J.-C.), est peut-être la plus générale et la plus fé-

GÉOMÉTRIE PLANE

conde de toutes les méthodes de la Géométrie. L’élégance et la valeur pratique de la solution sont d’ailleurs subordonnées au choix plus ou moins habile des deux conditions que l’on délaisse tour à tour; car de ce choix dépendent la nature et la facilité de recherche des deux lieux employés. La ligne droite et le cercle sont les seuls lieux qui doivent figurer dans les problèmes relatifs aux éléments de Géométrie plane, où toutes les constructions doivent s’effectuer avec la règle et le compas.

La méthode se prête, d’ailleurs, aussi bien à la discussion des problèmes qu’à leur solution. On commence par chercher les conditions pour que les deux lieux obtenus se rencontrent : le nombre de leurs points communs est le nombre des positions du point choisi pour inconnue. On cherche ensuite, si on ne l’aperçoit immédiatement, combien, à chaque position du point cherché, répondent de figures remplissant les conditions de l’énoncé, ce qui conduit au nombre des solutions du problème.

Remarquons enfin que, au lieu de ramener un problème à la recherche d’un point, on peut parfois le ramener à la détermination d’une droite d’après certaines conditions. S’il arrive alors que, en délaissant une de ces conditions, la droite devenue mobile reste tangente à un cercle fixe; puis que, en reprenant ladite condition et en faisant abstraction d'une autre, la droite reste tangente à un second cercle, on aura la position de la droite cherchée en menant des tangentes communes aux deux cercles enveloppes. L’un des cercles, ou même chacun d’eux} peut d’ailleurs se réduire à un point.

Proposons-nous, par exemple, de mener une droite D, qui passe par un point donné A et qui détermine dans un cercle donné G une corde de longueur donnée. Les droites qui satisfont à la première condition seule ont pour enveloppe le point A. Quant aux droites qui satisfont à la seconde condition seule, elles enveloppent un cercle y concentrique au cercle C, puisque les cordes égales d’un même cercle sont équidistantes du centre. Toutefois, ce cercle y se réduit à son centre O si la longueur donnée, qui, d’ailleurs, 11e saurait excéder le diamètre du cercle G, se trouve égale à ce diamètre. La droite cherchée D est, dans le premier cas, l’une quelconque des tangentes menées par A au cercle y; dans le second cas, c’est la droite AO.

169. Pour faciliter l’emploi delà méthode qui nous occupe, nous allons j rappeler les lieux géométriques que nous avons déjà rencontrés, et en ajouter quelques autres qui se rattachent aux précédents et qui résultent immédiatement des théories étudiées.

i° Le lieu des points situés à une distance donnée cl’un point donné est le cercle qui a le point donné pour centre et la distance donnée pour rayon (91);

LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE